El método circular en el problema de Waring

Abstract

Additive problems, perhaps by their simple nature, appear in many branches of mathematics. For the analytical theory of numbers, the process of solving additive problems has been the main axis in the development of important techniques in the field. Two classic examples are: The problem of Goldbach. By 1772, in his missions to Leonhard Euler, Christian Goldbach surmised that the whole squeegee, greater than or equal to 2, is a sum of two prime numbers and that any integer greater than 2 is the sum of three prime numbers. Goldbach considered 1 as a cousin, so today Goldbach's problems correspond to the assertions: every even integer, greater than or equal to 4 is written as the sum of two cousins (binary problem of Goldbach) and all odd integers, Greater than or equal to 7 is the sum of three prime numbers (Goldbach's ternary problem). In 1922, Hardy and Littewood, using the circular method (Hardy-Littlewood-Ramanujan) and assuming the Riemann hypothesis, proved that every odd large enough is effectively the sum of three prime numbers and that "almost all" The pairs are written as the sum of two primes. In 1937, Vinogradov essentially used the circular method under his trigonometric sum techniques to demonstrate the same results unconditionally, that is, without depending on the Riemann hypothesis. The Waring problem. In his book Meditations Algebraicae (1770) Edward Waring stated, without demonstration, that every positive integer is a sum of four squares, nine cubes, nineteen powers of four, and so on. In sum, the problem of Waring is to prove that given ɳ≥ 2 there exists an integer ƙ= ƙ (ɳ) such that any positive integer can be written at most as the sum of ƙ non-negative nth powers.

Los problemas aditivos, acaso por su sencilla naturaleza, aparecen en muchas ramas de la matemática. Para la teoría analítica de los números el proceso de resolver problemas aditivos ha sido eje en el desarrollo de importantes técnicas en la materia. Dos ejemplos clásicos son: El problema de Goldbach. Hacia 1772, en sus misivas con Leonhard Euler, Christian Goldbach conjeturó que rodo entero par, mayor o igual que 2, es una suma de dos números primos y que todo entero mayor que 2 es la suma de tres números primos. Goldbach consideró a 1 como un primo, por esta razón hoy en día los problemas de Goldbach corresponden a las afirmaciones: todo entero par, mayor o igual que 4 se escribe como suma de dos primos (problema binario de Goldbach) y todo entero impar, mayor o igual que 7 es suma de tres números primos (problema ternario de Goldbach). En los años 1922, 1923, Hardy y Littewood, utilizando el método circular (Hardy-Littlewood-Ramanujan) y asumiendo la hipótesis de Riemann, probaron que todo impar suficientemente grande es efectivamente, la suma de tres números primos y que “casi todos” los pares se escriben como la suma de dos primos. En 1937, Vinogradov utilizó esencialmente el método circular bajo sus técnicas de sumas trigonométricas para demostrar los mismos resultados incondicionalmente, es decir, sin depender de la hipótesis de Riemann. El problema de Waring. En su libro titulado Meditationes Algebraicae (1770) Edward Waring afirmó, sin demostración, que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados, nueve cubos, diecinueve potencias de cuatro y así sucesivamente. En suma, el problema de Waring consiste en probar que dado ɳ≥ 2 existe un entero ƙ= ƙ (ɳ) tal que cualquier entero positivo se puede escribir a lo más como la suma de ƙ potencias enésimas no negativas.