Expansiones asintóticas y el operador canónico de Maslov en la teoría lineal de ondas de agua

Abstract

In asymptotic methods to solve partial differential equations involving a small or large parameter, there are approximations of solutions that resemble each other, as is the case of the WKB Method along with all its medications (WKB Semiclásico, Acústica geometrical , Geometrical optics) and other approaches that differ from the previous ones, such as the boundary layer and the regular theory of perturbations. In the present work we have as main objective to expose how the WKB-type solutions are constructed until their generalization is reached by the Maslov method, in which we will describe Maslov's Canonical Operator considering the construction of a special solution of the Cauchy problem. To achieve this, we present both the analytic theory associated with such construction and the theory of geometric objects involved in such solutions (Hamiltonian systems, Lagrangian manifolds, Hamilton-Jacobi equation, Transport equation), and all of the foregoing in connection with A problem of water waves. As a didactic resource to understand Lagranian varieties and their behavior we diagrammed a "simple" program in MATLAB7 that allows us to visualize the varieties that intervene in problem 2 of section 3.5. Said program can be repeated for any of the other examples. We put it as an attachment to work. Another didactic result is in the two examples of the last section of the work, in which we not only give solutions in terms of the canonical operator but also explain the behavior of a solution in a neighborhood of a focal point through expressing this solution in Terms of special functions such as the Airy and Pearcey functions.

En los métodos asintóticos para resolver ecuaciones diferenciales parciales en los que interviene un parámetro, ya sea pequeño o grande, existen aproximaciones de soluciones que se asemejan entre sí, como es el caso del Método WKB junto con todas sus medicaciones (WKB Semiclásico, Acústica geométrica, ´Óptica geométrica) y otras aproximaciones que difieren de las anteriores como son las de la capa en la frontera y la teoría regular de perturbaciones. En el presente trabajo tenemos como principal objetivo el exponer como se construyen las soluciones del tipo WKB hasta llegar a su generalización mediante el método de Maslov, en el que describiremos al Operador Canónico de Maslov considerando la construcción de una solución especial del problema de Cauchy. Para lograr esto, presentamos tanto la teoría analítica asociada a dicha construcción como la teoría de los objetos geométricos involucrados en tales soluciones (Sistemas hamiltonianos, variedades lagrangianas, ecuación de Hamilton-Jacobi, la ecuación de Transporte), y todo lo anterior en conexión con un problema de ondas de agua. Como un recurso didáctico para comprender las variedades lagranianas y su comportamiento diagramamos un programa “sencillo” en MATLAB7 que nos permite visualizar las variedades que intervienen en el problema 2 de la sección 3.5. Dicho programa puede repetirse para cualquiera de los otros ejemplos. Lo ponemos como un anexo al trabajo. Otro resultado didáctico está en los dos ejemplos de la última sección del trabajo, en ellos no solo damos las soluciones en términos del operador canónico sino que también explicamos el comportamiento de una solución en una vecindad de un punto focal a través de expresar esta solución en términos de funciones especiales como son las funciones de Airy y de Pearcey.