Representación integral de operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert

Abstract

The spectral theory allows a deep analysis of the structure of certain defined operators in Hilbert spaces. To give an illustration and motivation of this theory, let us recall that a bounded and real measurable function f defined in a fi nitely limited space X can be uniformly approximated by simple functions. Thus, given ²> 0 there exists a disjoint family of characteristic functions {χj} and a fi nite family of real numbers such that | f (t) -Pj λjχj (t) | <². The analogous to these types of functions in Hilbert space theory are linear self-join operators, and since simple functions are idempotent, it is intuitively clear that in this context, they are identified with the projections. The approximation of real functions by simple functions corresponds, in analogy, to the approximation of self-joined operators by a real linear combination of projections; more explicitly, sums of the Riemann-Stieltjes type in the operator norm, which gives rise to an integral representation of the operator. In this thesis, we address such integral representation for the case of self-join operators. The thesis is organized as follows: In Chapter 1 we present the fundamental definitions and results that will serve to develop the theory and the conclusions that will be obtained in the later chapters. In Chapter 2, we work with compact self-jointing operators T, we present their spectral properties for fi nally, to represent the operator as a sum to the most countable of projections de fi need in invariant subspaces of T. In the third chapter, we consider the case in which T, besides being a self-join, is bounded. We show the existence of a family of projections E associated to T, called the spectral family, which gives rise to the de fi nition of the integral of T with respect to E.

La teoría espectral permite un profundo análisis de la estructura de ciertos operadores definidos en espacios de Hilbert. Para dar una ilustración y motivación de esta teoría, recordemos que una función medible acotada y real f definida en un espacio X de medida finita, puede aproximarse uniformemente por funciones simples. M´ as precisamente, dado ² > 0 existe una familia disjunta de funciones características {χj} y una familia finita de números reales tal que |f(t) −Pj λjχj(t)| < ². El análogo a este tipo de funciones en teoría de espacios de Hilbert, son operadores lineales autoadjuntos, y ya que las funciones simples son idempotentes, es intuitivamente claro que en este contexto, estas se identifican con las proyecciones. La aproximabilidad de funciones reales por funciones simples, corresponde, en analogía, a la aproximabilidad de operadores autoadjuntos por una combinación lineal real de proyecciones; más explícitamente, sumas del tipo Riemann-Stieltjes en la norma de operadores, lo que da lugar a una representación integral del operador. En esta tesis, abordamos dicha representación integral para el caso de operadores autoadjuntos. La tesis está organizada como sigue: En el capítulo 1 presentamos las definiciones y resultados fundamentales que servirán para el desarrollo de la teoría y las conclusiones que se obtendrán en los capítulos posteriores. En el capítulo 2, trabajamos con operadores autoadjuntos compactos T, presentamos sus propiedades espectrales para finalmente, representar al operador como una suma a lo m´ as numerable de proyecciones definidas en subespacios invariantes de T. En el tercer capítulo, se considera el caso en el que T además de ser autoadjunto es acotado. Mostramos la existencia de una familia de proyecciones E asociada a T, llamada familia espectral, lo que da lugar a la definición de la integral de T respecto a E.