Ábacos, particiones estables y la conjetura de Alperin para los grupos simétricos en característica Dos

Abstract

This is a thesis of combinatorics and computation, with some relation to algebra, so that the definitions and results that are required of algebra can be seen at the end, in the algebraic appendix. In this work, we begin by defining what the partitions are, we will see what hooks, bent hooks, hook lengths of the first column, the 2-heart of a partition and some things that can be done with them, then we will define The James abacus, we will see how to represent partitions in the James abacus and we will observe there that it is the same to remove biased hooks of a partition, that to cross all the counts upwards in the representation of the partition in the abacus of James. In the fourth chapter we will define what the 2-stable partitions are, then we will see some original results, the most important of which is that we refute the uniqueness of the partition matrix given in the article Radha Kessar Luis Valero Elizondo, Stable partitions and Alperin's weight conjecture for (3) Vol. 10, (2004), 53-62, where the existence and uniqueness of a matrix whose partitions are assumed to have the following properties is conjectured: 1. That the partitions are contained by lines. 2. Let your 2-heart be indexed by the column. 3. Let them be 2-regular partitions. 4. That within the same row the difference of the numbers of nodes of two partitions is equal to the difference of the number of nodes of their respective two hearts. In Chapter 6, we'll look at the code in Gap that was used to run some examples and routines that can form a library to work with partitions and abacuses.

Esta es una tesis de combinatoria y computación, con cierta relación con algebra, por lo que las definiciones y resultados que se requieren de algebra se pueden ver al final, en el apéndice algebraico. En este trabajo empezaremos por definir lo que son las particiones, veremos lo que son ganchos, ganchos sesgados, las longitudes de los ganchos de la primera columna, el 2-corazón de una partición y algunas cosas que se pueden hacer con ellas, luego definiremos el ábaco de James, veremos cómo representar particiones en el ábaco de James y observaremos ahí que es lo mismo quitar ganchos sesgados de una partición, que recorrer todas las cuentas hacia arriba en la representación de la partición en el ábaco de James. En el cuarto capítulo definiremos lo que son las particiones 2-estables, después veremos algunos resultados originales, el más importante es que refutamos la unicidad de la matriz de particiones dada en el artículo Radha Kessar Luis Valero Elizondo, Stable partitions and Alperin’s weight conjecture for the symmetric groups in characteristic two, Boletín Sociedad Matemática Mexicana (3) Vol. 10, (2004), 53-62, donde se conjetura la existencia y unicidad de una matriz cuyas entradas son particiones que tengan las siguientes propiedades: 1. Que las particiones se vayan conteniendo por renglones. 2. Que su 2-corazón esté indexado por la columna. 3. Que sean particiones 2-regulares. 4. Que dentro de un mismo renglón la diferencia de los números de nodos de dos particiones es igual a la diferencia del número de nodos de sus respectivos dos corazones. En el capítulo 6, veremos el código en Gap que se usó para correr algunos ejemplos y rutinas que pueden formar una biblioteca para trabajar con particiones y ábacos.