Método de las características complejas para ecuaciones elípticas en ángulos no convexos

Abstract

This paper is devoted to some aspects of solving border problems for elliptic equations in non-convex plane angles. It is precisely the justification of the complex features method [2], [3], [5], [7] for non-convex angles. This method finds applications for several problems of Mathematical Physics as well as for convex angles and non-convex angles [6], [8], [9], [10], [11] [13]. In the main part of this method the connection equation plays a very important role on the Riemann surface of the complex features of the elliptical operator. The connection equation generalizes the well-known relations on the real characteristics of the hyperbolic equations. This thesis is an extension, modification and clarification of the results [5]. The main problem is to propose an appropriate analogue of the equation of the connection between the Cauchy data for the case of the convex angles that will serve in the case of the nonconvex angles. For convex angles, the connection between the Fourier transforms of the Cauchy data of the solution on the sides of the angle appears as an algebraic equation on the complex features of the elliptical operator [7]. In non-convex angles there is no such relationship because the "exit to a complex area" can not be realized. In this case the Paley-Wiener Theorem [3] is not fulfilled. However, a method can be proposed to find such connection over the complex features of the strictly elliptical operator symbol. We take the first step in this direction. We find the integral equation (15.34), which is a relation between Cauchy's data. The algebraic relationship in this thesis is not considered.

Este trabajo está dedicado a algunos aspectos de la solución de problemas de frontera para las ecuaciones elípticas en los ángulos planos no convexos. Precisamente se trata de la justificación del método de las características complejas [2], [3], [5], [7] para ángulos no convexos. Este método encuentra aplicaciones para varios problemas de la Física Matemática tanto como para ángulos convexos y ángulos no convexos [6], [8], [9], [10], [11] [13]. En la parte principal de este método la ecuación de conexión juega un papel muy importante sobre la superficie de Riemann de las características complejas del operador elíptico. La ecuación de conexión generaliza las relaciones bien conocidas sobre las características reales de las ecuaciones hiperbólicas. Esta tesis es una ampliación, modificación y aclaración de los resultados [5]. El problema principal es proponer un análogo apropiado de la ecuación de la conexión entre los datos de Cauchy para el caso de los ángulos convexos que servirá para el caso de los ángulos no convexos. Para los ángulos convexos, la conexión entre las transformadas de Fourier de los datos de Cauchy de la solución sobre los lados del ángulo aparece como una ecuación algebraica sobre las características complejas del operador elíptico [7]. En los ángulos no convexos no existe esta relación por que la "salida a una área compleja" no se puede realizar. En este caso el Teorema de Paley-Wiener [3] no se cumple. Sin embargo se puede proponer un método para encontrar dicha conexión sobre las características complejas del símbolo del operador estrictamente elíptico. Nosotros damos el primer paso en esta dirección. Encontramos la ecuación integral (15.34), que es una relación entre los datos de Cauchy. La relación algebraica en esta tesis no se considera.