Productos de Kronecker y la correspondencia RSK

Abstract

The work is divided into two parts. In the first, we introduce the concepts and definitions that will be necessary to develop the methods. In the first chapter, notions such as partitions, Young diagrams, Young tables, table operations are considered, and then the RSK correspondence is entered in the next chapter. This correspondence has many notable properties and has been the subject of many works and has application in many areas of mathematics. To conclude the first part, a brief introduction to representations and characters with emphasis in the symmetric group, mentioning combinatorial interpretations of several results of characters is given. The second part of the thesis develops the two methods of calculation for c (XXX). The first set is obtained from a combinatorial interpretation of products of permutation characters such as number of three-dimensional matrices with non-negative entries with certain restrictions. The next two chapters form the most important part of the thesis. First, RSK correspondence for three-dimensional matrices is introduced, which establishes a bijection between three-dimensional matrices of non-negative integers and pairs of Young tables. Then determine the conditions of row and column that must satisfy the matrices so that the pair of tables that correspond to them have the same form and content. Subsequently, the next chapter develops a second form to calculate (XXXX) for two-part partitions, such as the difference between the number of three-dimensional arrays that satisfy the row and column conditions. In the final chapter, the two formulas obtained are shown, and it is shown that both, together with the dates den [10] and [5] are equivalent, as well as a scheme that could be followed to attack the same problem when any of the Partitions has more than 2 parts.

El trabajo se divide en dos partes. En la primera, se introducen los conceptos y definiciones que serán necesarias para desarrollar los métodos. En el primer capítulo se consideran nociones como particiones, diagramas de Young, tablas de Young, operaciones con tablas, para después introducir en el capítulo siguiente la correspondencia de RSK. Esta correspondencia posee muchas propiedades notables y ha sido objeto de muchos trabajos y que tiene aplicación en muchas áreas de matemáticas. Para concluir la primera parte, se da una breve introducción a representaciones y caracteres con énfasis en el grupo simétrico, mencionando interpretaciones combinatorias de varios resultados de caracteres. La segunda parte de la tesis desarrolla los dos métodos de cálculo para c(XXX). El primer metido se obtiene de una interpretación combinatoria de productos de caracteres de permutación como numero de matrices tridimensionales con entradas no negativas con ciertas restricciones. Los dos capítulos siguientes, forman la parte más importante de la tesis. Primero, se introduce la correspondencia RSK para matrices tridimensionales, la cual establece una biyección entre matrices tridimensionales de entradas enteras no negativas y pares de tablas de Young. A continuación se determinan las condiciones de fila y columna que deben satisfacer las matrices para que el par de tablas que les corresponde tenga la misma forma y contenido. Posteriormente, el siguiente capítulo desarrolla una segunda forma calcular (XXXX) para particiones de dos partes, como la diferencia entre el número de matrices tridimensionales que satisfacen las condiciones de fila y columna. En el capítulo final, se presentan las dos fórmulas obtenidas, y se demuestra que ambas, junto con las datas den [10] y [5] son equivalentes, así como un esquema que se podría seguir para atacar el mismo problema cuando alguna de las particiones tiene más de 2 partes.