Problema de Neumann para la ecuación de Helmholtz en ángulo plano

Abstract

The goal of this work is to obtain the explicit solution of the Neumann problem at a plane angle of magnitude smaller than ?, and to show that this solution belongs to the class L 2, if the data on the border belong to a certain space. Let ? be a plane angle of magnitude 0 <? <?, with vertex at the origin and sides ? 1: = {(x, 0): x> 0}, ? 2: = {(s cos ?, s sin?): S> 0}. In this work we limit ourselves to the demonstration of u ? L 2 (?). The test of ? x u u ? H ? (?), l = 1, 2, is technically much more complicated and remains as a pending problem; However, the main ideas for their demonstration will be implied during the development of the work. The work plan is as follows: In Chapter 1, we give the solution representation using the complex features method [6]. In Chapter 2, we reduce the Neumann problem (0.0.1) to the difference equation and solve this equation. In Chapter 3, we show that this solution belongs to the space L 2. Finally, in the Appendix, we give some auxiliary results that are necessary for the job.

La meta de este trabajo es obtener la solución explícita del problema de Neumann en un ángulo plano de magnitud menor que ?, y demostrar que esta solución pertenece a la clase L 2, si los datos sobre la frontera pertenecen a cierto espacio. Sea ? un ángulo plano de magnitud 0 < ? < ?, con vértice en el origen y lados ? 1:= {(x, 0): x > 0}, ? 2:= {(s cos ?, s sen?) : s > 0}. En este trabajo nos limitamos a la demostración de u ? L 2 (?). La prueba de ? x l u ? H ? (?), l = 1, 2. , es técnicamente mucho más complicada y queda como problema pendiente; sin embargo, las principales ideas para su demostración estarán implícitas durante el desarrollo del trabajo. El plan de trabajo es el siguiente: En el Capítulo 1, damos la representación de la solución usando el método de las características complejas [6]. En el Capítulo 2, reducimos el problema de Neumann (0.0.1) a la ecuación en diferencias y resolvemos esta ecuación. En el Capítulo 3, demostramos que dicha solución pertenece al espacio L 2. Finalmente, en el Apéndice, damos algunos resultados auxiliares que son necesarios para el trabajo.