Sobre las medidas minimizantes de Lagrangianos periódicos sobre el círculo

Abstract

One of our objectives is that this text is self-contained, so we dedicate the first chapters to the bases of the Lagrangian theory and minimizing measures. In the first chapter we introduce the definition of Tonelli's Lagrangians, autonomous and newspapers; then we define the action of a differentiable curve with respect to a Lagrangian and from this we see that Lagrangian is associated with a flow, which corresponds to the equation of Euler-Lagrange. We also give some illustrative examples of Tonelli's Lagrangians, such as are: Mechanical Lagrangian, Lagrangian embedded and Lagrangian magnetic. Chapter two is dedicated to defining some sets of measures with characteristics minimizing measures, which are defined on the basis of measures with respect to a Lagrangian. In addition we see that there is a connection between the set of measurements M (L) and the first real homology group. Then we define the special functions introduced by Mather (Mather's beta and Mather's alpha), which are convex functions and are useful to see if a set of measures contains ergodic elements and only ergodic, among other dynamic properties of the measures. We have also defined Aubry's set, since in chapter four we will have some result referring to this one. In chapter three, we consider a specific case of Lagrangians of Tonelli: Lagrangians newspapers on the circle, which are our main object of study. We see that in this particular case some special properties are fulfilled. Finally in chapter four we define the term of generic Lagrangian by Mañé, and we obtain more general results when applying his techniques to Lagrangians on the circle. Regarding the appendix, we consider it important to mention, without proof, some results important ergodic theory, circle homeomorphisms and convex functions.

Uno de nuestros objetivos es que este texto sea autocontenido, por lo que dedicamos los primeros capítulos a las bases de la teoría sobre Lagrangianos y medidas minimizantes. En el primer capítulo introducimos la definición de Lagrangianos de Tonelli, autónomos y periódicos; luego definimos la acción de una curva diferenciable respecto a un Lagrangiano y a partir de esto vemos que a un Lagrangiano se le asocia un flujo, el cual corresponde a la ecuación de Euler-Lagrange. Además damos algunos ejemplos ilustrativos de Lagrangianos de Tonelli, como son: Lagrangiano mecánico, Lagrangianos encajados y el Lagrangiano magnético. El capítulo dos lo dedicamos a definir algunos conjuntos de medidas con características específicas, entre ellas las medidas minimizantes, las cuales se definen a partir de la acción sobre medidas respecto a un Lagrangiano. Además vemos que hay una conexión entre el conjunto de medidas M (L) y el primer grupo de homología real. Luego definimos las funciones especiales introducidas por Mather (beta de Mather y alfa de Mather), las cuales son funciones convexas y son útiles para ver si un conjunto de medidas contiene elementos ergódicos y únicamente ergódicos, entre otras propiedades dinámicas de las medidas. También definimos el conjunto de Aubry, pues en el capítulo cuatro tendremos algún resultado referente a este. En el capítulo tres, consideramos un caso específico de Lagrangianos de Tonelli: Lagrangianos periódicos sobre el círculo, los cuales son nuestro objeto principal de estudio. Vemos que en este caso particular se cumplen algunas propiedades especiales. Por ultimo en el capítulo cuatro definimos el término de Lagrangiano genérico, introducido por Mañé , y obtenemos resultados más generales al aplicar sus técnicas a Lagrangianos sobre el circulo. En cuanto al apéndice, consideramos importante mencionar, sin prueba, algunos resultados importantes de teoría ergódica, homeomorfismos del círculo y funciones convexas.