Formas diferenciales y algunas aplicaciones a la relatividad general

Abstract

In this thesis we introduce the basic theory of differential forms and discuss some applications of this theory in the context of general relativity. In Chapter 1 we introduce Grassmann's outer algebra based on in the tangent space T x M of a differentiable manifold M of dimM = n, (But our analysis is valid if T x M is replaced by a vector space real E, dimE = n). Also in the same chapter we introduce the operator of Hodge, the inner product operation and its basic properties. In Chapter 2 we introduce fields of differential forms defined on a mild M variety, with dimM = n. Our approach to this chapter is the introduction of the outer derivative operator d and the co-derivative operator d † and their basic properties. We also connect the operators ∇., ∇ × del vector analysis with the operators d, d * and the Hodge operator. Chapter 3 is devoted to elementary applications of differential form theory. As a first application in section (3.1) we formulate the Maxwell's equations in the language of differential forms, taking as background the space time of Minkowski. In sections (3.2) and (3.3) we introduce the connection forms and derive the structure equations of Cartan. In section (3.4) we discuss solutions of the Cartan equations with particular emphasis on solutions of said equations with the connection of Levi-Civita. In section (3.5) used the analysis of the previous section, We evaluated the curvature of a family of static and spherically symmetric metrics. As an application of these formulas we solve the equations of Einstein in the vacuum for a metric with spherical symmetry and we derive the solution of Schwarzchild.

En esta tesis introducimos la teoría básica de formas diferenciales y discutimos algunas aplicaciones de esta teoría en el contexto de relatividad general. En el capítulo 1 introducimos el álgebra exterior de Grassmann basándose en el espacio tangente T x M de una variedad M diferenciable de dimM = n, (pero nuestro análisis es válido si T x M se reemplaza por un espacio vectorial real E, dimE = n). También en el mismo capítulo introducimos el operador de Hodge, la operación producto interior y sus propiedades básicas. En el capítulo 2 introducimos campos de formas diferenciales definidos sobre una variedad M suave, con dimM = n. Nuestro enfoque de este capítulo es la introducción del operador derivada exterior d y el operador co-derivada d † y sus propiedades básicas. También conectamos los operadores ∇., ∇× del análisis vectorial con los operadores d, d∗ y el operador de Hodge. El capítulo 3 es dedicado a aplicaciones elementales de la teoría de formas diferenciales. Como primera aplicación en la sección (3.1) formulamos las ecuaciones de Maxwell en el lenguaje de formas diferenciales, tomando como fondo el espacio tiempo de Minkowski. En las secciones (3.2) y (3.3) introducimos las formas de conexión y derivamos las ecuaciones de estructura de Cartán. En la sección (3.4) discutimos soluciones de las ecuaciones de Cartán con énfasis particular en soluciones de dichas ecuaciones con la conexión de Levi-Civita. En la sección (3.5) usado el análisis de la sección anterior, evaluamos la curvatura de una familia de métricas estáticas y esféricamente simétricas. Como una aplicación de estas fórmulas resolvemos las ecuaciones de Einstein en el vacío para una métrica con simetría esférica y derivamos la solución de Schwarzchild.