Cardinales medibles

Abstract

Measurable cardinals are objects in mathematics whose existence is undecidable, which make more interesting, since there is theory under each assumption: they exist or do not exist. In this work we will mix these cardinal with models theory tools, such as ultraproducts and forcing, and some interesting results are presented. In the first chapter, develop a little theory of ultraproducts; It was proved that under V = L there are no measurable cardinals, which makes it non-existent. Some relations between great cardinals are also established. In the second chapter will be built using forcing, and of course, with the existence of a cardinal measurable α, a generic extension, although it does not add (or destroy) cardinal and does not add sets in V α, to an as ı destroys the regularity of α. We assume that the reader is familiar with the concepts of filter, ultrafilter, cofinality, so we will not dwell on that. It is convenient for the reader to Bit of model theory. A language L is a third (R, F, C) of sets of foreign symbols by symbol pairs. The elements of R, F, and C are called relation symbols, function symbols, and symbols of constant, respectively. To the symbols of the language we will add some extra symbols that we need to construct the formulas: parentheses), (; variables v 0, v 1, ..., v n, ...; ∧, ¬; Quantifiers ∃; Identity =. A term is a succession of symbols of language that are can obtain by applying a finite number of times the following schemes: 1. Each variable is a term. 2. Each constant symbol is a term.

Los cardinales medibles son objetos en matemáticas cuya existencia es indecidible, lo cual los hacen más interesante, ya que hay teoría bajo cada suposición: existen o no existen. En este trabajo mezclaremos estos cardinales con herramientas de teoría de modelos, como los ultraproductos y forcing, y se presentan algunos resultados interesantes. En el primer capítulo, se desarrollar ́a un poco de teoría de ultraproductos; se probara que bajo V = L no existen cardinales medibles, lo que hace consistente su no existencia. También se establecen algunas relaciones entre cardinales grandes. En el segundo capítulo se construirá usando forcing, y por supuesto, con la existencia de un cardinal medible α, una extensión genérica, aunque no agrega (o destruye) cardinales y no agrega conjuntos en V α, aun así destruye la regularidad de α. Suponemos que el lector está familiarizado con los conceptos de filtro, ultrafiltro, cofinalidad, cardinales regulares as ́ı que no nos detendremos en eso. Es conveniente que el lector conozca un poco de teoría de modelos. Un lenguaje L es una terna (R, F, C) de conjuntos de símbolos ajenos por pares de símbolos. A los elementos de R, F y C se les llamaran símbolos de relación, símbolos de función y símbolos de constante, respectivamente. A los símbolos del lenguaje le agregaremos algunos símbolos extras que necesitamos para construir las formulas: Paréntesis), (; variables v 0, v 1,..., v n,...; conectivos ∧, ¬; cuantificadores ∃; identidad =. Un término es una sucesión de símbolos del lenguaje que se puede obtener aplicando un número finito de veces los siguientes esquemas: 1. Cada variable es un término. 2. Cada símbolo de constante es un término.