Filtros de Fréchet-Urysohn

Abstract

It is well known that in a metric space, a point is in the closure of a set if and only if there exists a sequence in the set that converges to the point. In general this is not fulfilled for any topological space. The property is met both in metric spaces and in the first numerable spaces. The most classic example where previous property fails is βω, the compaction of Stone-Cech of the set of natural numbers with the discrete topology. This space has no convergent nontrivial sequences. In this way, it is clear that in general topology is not enough to work with successions. On the other hand, we look for spaces in the sufficient to determine the notions of open, closed, compact and continuity. This motivates us to consider the next class of spaces. Definition 1. A space X is Fréchet-Urysohn, if satisfies that for every subset A ⊆ X, a point x is in the closure of A if and only if there is a sequence in A that converges to x. Note: The spaces to be considered will always be Hausdorff and completely regular. The most well-known examples of Fréchet-Urysohn spaces are metric spaces and first numerable spaces that are more restrictive. Other properties that are also met in such spaces are the following: A set A is open if and only if for each succession (x n) n <ω in X that converges to a point in A, it happens that x n ∈ A except for a finite quantity of n <ω. A set F is closed if and only if each sequence in F, which converges to a point x ∈ X, has to X ∈ F.

Es sumamente conocido que en un espacio métrico, un punto está en la clausura de un conjunto si y sólo si existe una sucesión en el conjunto que converge al punto. En general esto no se cumple para cualquier espacio topológico. La propiedad se cumple tanto en los espacios métricos como en los espacios primero numerables. El ejemplo más clásico en donde falla la propiedad anterior es βω, la compactación de Stone- Cech del conjunto de los números naturales con la topología discreta. Este espacio no tiene sucesiones no triviales convergentes. De esta manera, es claro que en topología general no es suficiente trabajar con sucesiones. Por otro lado, buscamos espacios en los cuales sean suficientes las sucesiones para determinar las nociones de abierto, cerrado, compacto y continuidad. Esto nos motiva a considerar la siguiente clase de espacios. Definición 1. Un espacio X es de Fréchet-Urysohn, si satisface que para todo subconjunto A ⊆ X, un punto x está en la clausura de A si y sólo si existe una sucesión en A que converge a x. Nota: Los espacios a considerar siempre serán Hausdorff y completamente regulares. Los ejemplos más conocidos de espacios de Fréchet-Urysohn son los espacios métricos y los espacios primero numerables que son más restrictivos. Otras propiedades que también se cumplen en tales espacios son las siguientes: Un conjunto A es abierto si y sólo si para cada sucesión (x n) n<ω en X que converge a un punto en A, sucede que x n ∈ A excepto para una cantidad finita de n < ω. Un conjunto F es cerrado si y solo si cada sucesión en F, la cual converge a un punto x ∈ X se tiene que x ∈ F.