Invariantes cardinales del álgebra de Calkin

Abstract

In this paper we intend to study the projections in C (H), the Calkin algebra, which defined as the quotient between the bounded operators of a separable Hilbert space between their compact operators from the point of view of set theory. It is known that there is a natural fit of P (ω) / End to the subset of projections in Calkin's algebra P (C (H)) and through it it is possible to define non-commutative analogs of their cardinal invariants, and in some cases obtain results of this through methods initially designed for the study of P (ω) / end. A known problem that maintains a close relationship with cardinal invariants in P (C (H)) is the so-called Hadwin conjecture. In [5], D. Hadwin demonstrated that using the continuum hypothesis, all maximal chains within P (C (H)), projections in Calkin's algebra, are isomorphic (it accomplishes this by showing that this poset is ω-saturated and constructing an isomorphism with a "back and forth" argument) and conjectured that this condition could be equivalent with the continuum hypothesis. It is known that using the same methods as those used by Shelah- Stepräns in [7] it can be shown that the analogous conjecture within P (ω) / End is false, that is, it is consistent with ZFC that all the maximal chains of P (ω) / End are isomorphic together with the Denial of the continuum hypothesis. One utility of these cardinal invariants is to aid the study of gaps. These play an important role in various branches of mathematics. In particular, the concept of gap often appears in the theory of algebras of operators since it is related to concepts of completeness. For example, the property of being ω-saturated can be understood as non-existence of (ω, ω) gaps.

En este trabajo se pretende estudiar las proyecciones en C (H), el álgebra de Calkin, que se define como el cociente entre los operadores acotados de un espacio Hilbert separable entre sus operadores compactos, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Es conocido que existe un encaje natural de P (ω)/Fin al subconjunto de las proyecciones en el álgebra de Calkin P(C (H)) y a través de este es posible definir análogos no conmutativos de sus invariantes cardinales, y en algunos casos obtener resultados de esta a través de métodos inicialmente diseñados para el estudio de P (ω)/Fin. Un problema conocido que mantiene una relación estrecha con invariantes cardinales en P(C (H)) es la llamada conjetura de Hadwin. En [5], D. Hadwin demostró que usando la hipótesis del continuo, todas las cadenas maximales dentro de P(C (H)), las proyecciones en el álgebra de Calkin, son isomorfas (logra esto demostrando que este poset es ω-saturado y construyendo un isomorfismo con un argumento de “back and forth”) y conjeturó que esta condición podría ser equivalente con la hipótesis del continuo. Es sabido que usando los mismo métodos que los usados por Shelah- Stepräns en [7] se puede demostrar que la conjetura análoga dentro de P (ω)/Fin es falsa, es decir, es consistente con ZFC que todas las cadenas maximales de P (ω)/Fin sean isomorfas junto con la negación de la hipótesis del continuo. Una utilidad que tienen estos invariantes cardinales es ayudar al estudio de las gaps. Estas juegan un papel importante en varias ramas de las matemáticas. En particular, el concepto de gap aparece a menudo en la teoría de álgebras de operadores ya que se relaciona con conceptos de completitud. Por ejemplo, la propiedad de ser ω-saturado se puede entender como la no existencia de (ω, ω) gaps.