Códigos de convolución

Abstract

In the first chapter the concept of a code on a set is given in a general way finite non-empty, see definition 1.4, and some of its intrinsic parameters, namely, the length and size, see definitions 1.5 and 1.8 respectively. In particular, when the set finite non-empty has an algebraic structure of a ring, we will give a class of codes called linear codes. Each linear code is associated with the minimum distance parameter (Definition 1.18) given by the distance Hamming, which among other properties allows to determine the number of errors that can detect and correct our code, see (2). A contribution of this text is the generalization of the concept of dimension of a code linear, see definition 1.14. The dimension of a linear code may be larger than the length of this code, see proposition 1.18, a fact that never occurs in classical linear codes nor in the linear codes defined by J. Walker in (17). Another contribution of this text (see proposition 1.27) is the generalization of the singleton dimension for classical linear codes, which gives a dimension higher than the dimension of a linear code in terms of its length and minimum distance. It also shows the existence of codes that satisfy equality in such quota. In this same chapter, we include the generating matrix and the control matrix of a code linear, see definitions 1.20 and 1.21 respectively, which allow to expose the code in terms of these in a natural way. On the other hand, a control matrix of a linear code C is a matrix generating a linear code called a dual code of C.

En el primer capítulo se dan de una manera general el concepto de un código sobre un conjunto finito no vacío, ver la definición 1.4, y algunos de sus parámetros intrínsecos, a saber, la longitud y el tamaño, ver las definiciones 1.5 y 1.8 respectivamente. En particular, cuando el conjunto finito no vacío tiene una estructura algebraica de un anillo, daremos una clase de códigos llamados códigos lineales. A cada código lineal se le asocia el parámetro distancia mínima (Definición 1.18) dada por la distancia de Hamming, la cual entre otras propiedades permite determinar el numero de errores que puede detectar y corregir nuestro código, ver (2). Una aportación de este texto, es la generalización del concepto de dimensión de un código lineal, ver la definición 1.14. La dimensión de un código lineal puede ser mayor que la longitud de este código, ver la proposición 1.18, hecho que no ocurre nunca en los códigos lineales clásicos ni tampoco en los códigos lineales definidos por J. Walker en (17). Otro aporte de este texto (ver la proposición 1.27) es la generalización de la cota de Singleton para códigos lineales clásicos, la cual da una cota superior a la dimensión de un código lineal en términos de la longitud y distancia mínima del mismo. Así mismo se muestra la existencia de códigos que satisfacen la igualdad en dicha cota. En este mismo capítulo, se incluir ?a la matriz generadora y la matriz de control de un código lineal, ver las definiciones 1.20 y 1.21 respectivamente, las cuales permiten exponer al código en términos de estas de manera natural. Por otro lado, una matriz de control de un código lineal C es una matriz generadora de un código lineal llamado código dual de C.