Una introducción a la dimensión de representación

Abstract

In 1971 M. Auslander in his work Representation dimension of artin algebras, [Aus71], defined the notion of representation dimension of an artin algebra ? as a way of to measure homogeneously how far an infinite representation type algebra is from the finite representation type (see [Xi00]). Recently, in 2003, O. Iyama has shown that the representation dimension of any artin algebra is finite, [Iya03]. However, to date, little is known about the precise values of overall representation dimension. Among the examples that are known is the work produced by R. Rouquier in [Rou06] where it shows that the outer algebra of a vector space of dimension n has is the first example of an algebra of representation dimension 4, thereby refuting what was formerly believed to be the dimension of representation n + 1. Representation of an algebra could not exceed 3. Given the importance of the notions, techniques and methods described by M. Auslander, the present work is based on the themes of this article and we have tried to develop in detail the demonstrations to make its reading easier. In the first chapter we give a historical development of the theory of representations, and motivate the study of the present work. In the second chapter we will give the preliminary concepts necessary for the treatment of later topics and although much literature exists on such concepts, Auslander uses them in a somewhat different way, it is for this reason that this chapter is of importance to the rest from work.

En 1971 M. Auslander en su trabajo Representation dimensión of artin algebras, [Aus71], definió la noción de dimensión de representación de un álgebra de artin ? como una manera de medir homológicamente que tan lejos está un álgebra de tipo de representación infinita de ser de tipo de representación finita (ver [Xi00]). Recientemente, en 2003, O. Iyama ha mostrado que la dimensión de representación de cualquier álgebra de artin es finita, [Iya03]. Sin embargo, hasta la fecha se conoce poco acerca de los valores precisos de dimensión de representación en general. Dentro de los ejemplos que son conocidos se encuentra el trabajo producido por R. Rouquier en [Rou06] donde muestra que el álgebra exterior de un espacio vectorial de dimensión n tiene dimensión de representación n + 1, es así que se da a conocer el primer ejemplo de un álgebra de dimensión de representación 4, de ese modo refutando lo antiguamente creído que la dimensión de representación de un álgebra no podría exceder 3. Dada la importancia de las nociones, técnicas y métodos descritos por M. Auslander, el presente trabajo se encuentra basado en los temas de tal artículo y hemos tratado de desarrollar con detalle las demostraciones para hacer más fácil su lectura. En el primer capítulo damos un desarrollo histórico de la teoría de representaciones, así mismo motivamos el estudio del presente trabajo. En el segundo capítulo daremos los conceptos preliminares necesarios para el tratamiento de los temas posteriores y aunque existe mucha literatura sobre tales conceptos, Auslander los utiliza de una manera un tanto diferente, es por esa razón que este capítulo es de importancia para el resto del trabajo.