Introducción a la geometría combinatoria

Abstract

The convex sets are the object of study of the convex geometry. From the antiquity have appeared sporadic results about convexity in the mathematical literature. It is believed that the first explicit mention of convexity was made by Archimedes, in the book on the sphere and the circle. The study of these objects was increased in the nineteenth century with systematic investigations, with the works of Cauchy, Steiner, Brunn and Minkowski. During the 20th century, the relation between convex geometry and other branches of mathematics and applied mathematics. Some areas where it is used are differential geometry, Riemannian geometry, functional analysis, calculation of variations, control theory, optimization, theory of geometric measure, inequalities, Fourier series, probability and mathematical physics. This work is a small introduction to Combinatorial Geometry. Theorems base are the Radon Theorem, the Carathéodory Theorem and Helly's Theorem. In the first section we will introduce the concepts with which we will work. We will also see some properties of the objects that we will describe. The second section focuses on the demonstrations of the mentioned theorems. The theorems become quite intuitive after having understood the concepts given in the first section. In the third section we will see applications of these theorems. In the literature there are many generalizations of the theorems of Radon, Helly and Carathéodory. Some of them are in the dimension, in the characteristics of the sets with which one works or others. Generalizations sometimes use techniques not combinatorial (for example homology) and leave the spirit of this work.

Los conjuntos convexos son el objeto de estudio de la geometría convexa. Desde la antigüedad han aparecido resultados esporádicos acerca de convexidad en la literatura matemática. Se cree que la primera mención explícita de convexidad fue hecha por Arquímedes, en el libro Sobre la esfera y el círculo. El estudio de estos objetos se incrementó en el siglo XIX con investigaciones sistemáticas, con los trabajos de Cauchy, Steiner, Brunn y Minkowski. Durante el siglo XX se entendió más la relación de la geometría convexa con otras ramas de las matemáticas y matemáticas aplicadas. Algunas áreas en donde se utiliza son geometría diferencial, geometría Riemanniana, análisis funcional, cálculo de variaciones, teoría de control, optimización, teoría de la medida geométrica, desigualdades, series de Fourier, probabilidad y física matemática. Este trabajo es una pequeña introducción a la Geometría Combinatoria. Los teoremas base son el Teorema de Radon, el Teorema de Carathéodory y el Teorema de Helly. En la primera sección introduciremos los conceptos con los cuales trabajaremos. Veremos también algunas propiedades de los objetos que describiremos. La segunda sección se centra en las demostraciones de los teoremas mencionados. Los teoremas llegan a ser bastante intuitivos después de haber entendido los conceptos dados en la primera sección. En la tercera sección veremos aplicaciones de estos teoremas. En la literatura hay muchas generalizaciones de los teoremas de Radon, Helly y Carathéodory. Algunas de ellas son en la dimensión, en las características de los conjuntos con los que se trabaja u otras. En ocasiones las generalizaciones utilizan técnicas no combinatorias (por ejemplo, de homología) y se salen del espíritu de este trabajo.