Álgebras C* generadas por el plano complejo cuántico

Abstract

There is no rigorous and universally accepted definition of the term quantum space. Without however, it is generally understood as certain deformations of classical objects associated with algebraic groups. We can illustrate this through an example. We take the algebra of the polynomials in two variables x and y on a field K, denoted by K [x, y]. We can understand K [x, y] as the algebra generated by x and y with the relation xy = Yx. We now consider for each q ∈ K the associated algebra K q [x, y] generated by x, y y la relation xy = qyx. In this way the family K q [x, y] of algebras parameterized by q ∈ K, are deformations of the initial algebra in the sense that the multiplication depends on the parameter q. We can also consider other types of deformations. The C * algebra given by a product C crossed C0 ([0, ∞)) C (S 1), can be considered as a deformation of the cylinder [0, ∞) × S 1. This deformation allows us to define a collapse of the section {0} × S 1, in the cylinder, to a point. This collapse process coincides with a C * algebra representing continuous functions that tend to 0 in the infinite on the quantum space O (C q). Compaction by a point of the obtained object is equivalent to an algebra C * denoted by C (S 2 q) which represents the continuous functions on a 2-quantum sphere S 2 q. It can be shown that C (S 2 q) has the same K-theory as the sphere S 2 and the same mating of indices, this can be obtained by calculating the number of turns of the linear beam quantum [16].

No existe una definición rigurosa y universalmente aceptada del término espacio cuántico. Sin embargo generalmente se entiende como ciertas deformaciones de objetos clásicos asociados a grupos algebraicos. Podemos ilustrar lo anterior a través de un ejemplo. Tomamos el álgebra de los polinomios en dos variables x e y sobre un campo K, denotada por K [x, y]. Podemos entender K [x, y] como el álgebra generada por x e y con la relación xy = yx. Consideramos ahora para cada q ∈ K el álgebra asociada K q [x, y] generada por x, y y la relación xy = qyx. De esta forma la familia K q [x, y] de álgebras parametrizadas por q ∈ K, son deformaciones del álgebra inicial en el sentido de que la multiplicación depende del parámetro q. También podemos considerar otro tipo de deformaciones. El álgebra C ∗ dada por un producto cruzado C C 0 ([0, ∞)) C(S 1), se puede considerar como una deformación del cilindro [0, ∞) × S 1. Esta deformación nos permite definir un colapsamiento de la sección {0} × S 1, en el cilindro, a un punto. Este proceso de colapsamiento coincide con un álgebra C ∗ que representa las funciones continuas que tienden a 0 en el infinito sobre el espacio cuántico O(C q). La compactación por un punto del objeto obtenido equivale a un álgebra C ∗ denotada por C(S 2 q), que representa las funciones continuas sobre una 2−esfera cuántica S 2 q. Se puede demostrar que C(S 2 q) tiene la misma K-teoría que la esfera S 2 y el mismo apareamiento de índices, esto lo podemos obtener calculando el número de giros del haz lineal cuántico [16].