La conjetura de Farrell-Jones para los grupos de trenzas puras

Abstract

In 1993 Thomas Farrell and Lowel Jones established their conjecture which says the following: conjecture 0.1. (Farrell-Jones) Sean G a discrete group and F: Groups ? ES PECT RA el K-theory functor, L-theory or Pseudoisotopy. Then for all n ? Z the function (0.1) a Vcyc: H n G (EG; F) ? H n G (pt; F) ? n (F (G)) which is induced by the projection EG ? pt is an isomorphism. In the statement E denotes the classifying space of the family of virtually cyclical subgroups of G. This conjecture has been verified in the case of the Pseudoisotope functor, among others, for the groups of closed Riemannian varieties with non-positive sectional curvature, free subgroups of Gl n (R) torsion, groups of 3-variants Haken and for groups of braids pure and complete. However, their analogues for the K-theory functor remain as problems. In this paper we focus on the Farrell-Jones conjecture for the K-theory functor and we show that the pure braid groups satisfy the Farrell-Jones conjecture in its bundled version, which generalizes Farrell-Jones's conjecture mentioned above.

En 1993 Thomas Farrell y Lowel Jones establecieron su conjetura la cual dice lo siguiente: Conjetura 0.1. (Farrell-Jones) Sean G un grupo discreto y F: Groups ? ES PECT RA el funtor de K-teoría, L-teoría o Pseudoisotopía. Entonces para todo n ? Z la función (0.1) A Vcyc: H n G (EG; F) ? H n G (pt; F) ? n (F (G)) que es inducida por la proyección EG ? pt es un isomorfismo. En el enunciado E denota el espacio clasificante de la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de G. Esta conjetura ha sido verificada en el caso del funtor de Pseudoisotop?a, entre otros, para los grupos fundamentales de variedades Riemannianas cerradas con curvatura seccional no positiva, subgrupos libres de torsión de Gl n (R), grupos de 3-variedades Haken y para los grupos de trenzas puras y completas. Sin embargo sus análogos para el caso del funtor de K-teoría permanecen como problemas abiertos. En el presente trabajo nos centramos en la conjetura de Farrell-Jones para el funtor de K-teoría y demostramos que los grupos de trenzas puras satisfacen la conjetura de Farrell-Jones en su versión fibrada, la cual generaliza la conjetura de Farrell-Jones antes mencionada.