Subgrupo de libre es libre, con gráficas

Abstract

he main motivation in carrying out the following work was to be able to do a thesis where a great variety of knowledge was applied concerning different subjects that caught my attention during the time I study the degree. One virtue of this work is to see how several branches of mathematics complement each other to find a solution to a problem not so easily demonstrated in group theory, thus showing how the great diversity of knowledge used properly can give us Great contributions in the field of sciences. We will use topological tools such as the fundamental group, covering space theory, Seifert-Van Kampen's theorem, as well as issues of set theory and algebra. We will make a conjunction of all these knowledge to be able to apply them in the theory of graphs and thus demonstrate that the subgroup of a free group is also free. In this work of thesis are demonstrations somewhat long and complex but try to write in a didactic way using a large number of drawings, making this a manageable material for the undergraduate student. In Chapter 1 we give a topology to linear graphs and we show some properties that relate the combinatory study of linear graphs and their topological structure, in chapter 2 we study the free groups and free products that are subjects not usually treated in a first course of Group theory.

La principal motivación en realizar el siguiente trabajo fue la de poder hacer una tesis donde se aplicara una gran variedad de conocimientos referentes a distintas materias que llamaron mi atención durante el tiempo que estudie la licenciatura. Una virtud de este trabajo es ver cómo se complementan varias ramas de las matemáticas para encontrar una solución a un problema no tan sencillo de demostrar en la teoría de grupos, mostrando de esta manera cómo la gran diversidad de conocimientos usados adecuada- mente, puede darnos grandes aportaciones en el campo de las ciencias. Usaremos herramientas topológicas como lo son el grupo fundamental, la teoría de espacios cubrientes, el teorema de Seifert-Van Kampen, como así también temas de la teoría de conjuntos y de álgebra. Haremos una conjunción entre todos estos conocimientos para poder aplicarlos en la teoría de gráficas y así demostrar que el subgrupo de un grupo libre también es libre. En este trabajo de tesis se ven demostraciones un tanto largas y complejas pero se tratan de escribir de manera didáctica usando una gran cantidad de dibujos, haciendo de éste un material manejable para el estudiante de licenciatura. En el capítulo 1 damos una topología a las gráficas lineales y demostramos algunas propiedades que relacionan el estudio combinatorio de graficas lineales y su estructura topológica, en el capítulo 2 estudiamos los grupos libres y productos libres que son temas no tratados usualmente en un primer curso de teoría de grupos.