Medidas complejas y Teoremas de Representación

Abstract

In this thesis we study the notion of complex measures and their use in representation theorems. The first chapter consists of the definitions of complex measure, measure of total variation, absolutely continuous measures with respect to a positive measure and mutually singular measures. Some properties of the measures mentioned above are also included. The fundamental theorem concerns the representation of complex measures. It is the classical theorem Radon-Nikodym: absolutely continuous complex measures with respect to a given positive measure are represented by integrable functions. This theorem and its detailed test are described in the second chapter of the thesis. In Chapters 3 and 4 we study applications of the Radon-Nikodym theorem to the representation of functions and continuous linear forms. In Chapter 3 we study the absolutely continuous functions. We prove that the absolutely continuous functions are derivable almost everywhere and we obtain the following characterization: they are exactly the functions that are integral of its derivative. As counterexample we present the Cantor function. In Chapter 4 we study the duality L p - L q: the continuous linear forms on L p, 1 ≤ p <∞, are represented by functions of L q, where q is the conjugate exponent of p. We discuss the construction of a counterexample for p = + ∞: there exist continuous linear forms on L ∞ (R) that do not come from functions L 1. In the last chapter we present the definition of the integral of a function with respect to a measure Complex, and we study Riesz's representation theorem: the continuous linear forms of the space of continuous functions on a compact metric space are identified with complex (through integral) measures. From this theorem we easily obtain an alternative proof of the existence of the Lebesgue measure.

En esta tesis estudiamos la noción de medidas complejas y su utilización en teoremas de representación. El primer capítulo está conformado por las definiciones de medida compleja, medida de variación total, medidas absolutamente continuas con respecto a una medida positiva y medidas mutuamente singulares. También se incluyen algunas propiedades de las medidas antes mencionadas. El teorema fundamental concierne la representación de las medidas complejas. Es el teorema cl ́asico Radon-Nikodym: las medidas complejas absolutamente continuas con respecto a una medida positiva dada se representan por funciones integrables. Este teorema y su prueba detallada son descritos en el segundo capítulo de la tesis. En los capítulos 3 y 4 estudiamos aplicaciones del teorema de Radon-Nikodym a la representación de funciones y de formas lineales continuas. En el capítulo 3 estudiamos las funciones absolutamente continuas. Probamos que las funciones absolutamente continuas son derivables en casi todas partes y obtenemos la caracterización siguiente: son exactamente las funciones que son integrales de su derivada. Como contra-ejemplo presentamos la función de Cantor. En el capítulo 4 estudiamos la dualidad L p − L q: las formas lineales continuas sobre L p, 1 ≤ p < ∞, se representan por funciones de L q, donde q es el exponente conjugado de p. Detallamos la construcción de un contra-ejemplo para p = +∞: existen formas lineales continuas sobre L ∞ (R) que no provienen de funciones L 1. En el último capítulo presentamos la definición de la integral de una función con respecto a una medida compleja, y estudiamos el teorema de representación de Riesz: las formas lineales continuas del espacio de las funciones continuas sobre un espacio métrico compacto se identifican con las medidas complejas (mediante la integral). De este teorema se obtiene fácilmente una prueba alternativa de la existencia de la medida de Lebesgue.