Estudios numéricos de la ecuación de onda y algunas aplicaciones

Abstract

Numerical Analysis is a branch of mathematics whose limits are not entirely accurate. In a rigorous way, it can be defined as the busy discipline of describing, analyzing and creating numerical algorithms that allow us to solve mathematical problems. Science and technology describe real phenomena through mathematical models. The study of these models allows a deeper understanding of the phenomenon, as well as its future evolution. Applied mathematics is the branch of mathematics that is dedicated to finding and applying the tools most appropriate to problems based on these models. Unfortunately, it is not always possible to apply classical analytical methods (algebraic manipulations, differential equation theory, integration methods, etc ...) for different reasons: They do not fit the concrete model. Its application is excessively complex. The formal solution is so complicated that it makes any subsequent interpretation impossible. There are simply no analytical methods capable of providing solutions to the problem. In these cases numerical techniques are useful, which by means of a more or less intense calculation work lead to approximate solutions that are always numerical. It should be remembered that experimental physics, for example, never yields exact values ??but intervals that encompass the vast majority of experimental results obtained, since it is not usual for two measurements of the same phenomenon to yield exactly the same values. The important calculation effort involved in most of these methods makes its use closely linked to the use of computers.

El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos. La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc...) por diferentes razones: No se adecuan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema. En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricas. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadoras.