Espacios clásicos de Banach

Abstract

The Banach Classical Spaces are those spaces of Banach X whose dual space is isometric to L p (μ, R), for some 1 ≤ p ≤ ∞. It is well known that if 1 <p <then X = L q (μ, R), where q is a real number that satisfies 1 / p + 1 / q = 1, and if p = 1 (μ, R). In particular, we will focus our attention on the study of spaces p. The main objective of this thesis is to study some techniques of construction of Banach spaces and present the solution of A. Szankowski to two of the central problems of Functional Analysis. In Chapter 2 we will recall some basic definitions and theorems of the Banach space theory that we will be using throughout this work. In Chapter 3 we study the concept of a Schauder base. There are many reasons to study Schauder's foundations. Like the Hamel bases in linear spaces, the Schauder bases give us a deeper insight into the properties of the Banach spaces, as well as facilitating the solution of many problems. On the other hand, it is possible to know certain characteristics of Banach spaces, just to find out what happens with the elements of the base. Finally, they also allow us to reformulate many classic problems of Functional Analysis, so that they turn out to be problems involving them. This has allowed us to solve classic problems that remained open for many years.

Los Espacios Clásicos de Banach son aquellos espacios de Banach X cuyo espacio dual es isométrico a L p (μ, R), para algún 1 ≤ p ≤ ∞. Es bien sabido que si 1 < p < ∞ entonces X = L q (μ, R), en donde q es un número real que cumple 1/p + 1/q = 1, y si p = ∞ se obtiene X = L 1 (μ, R). En particular, nosotros concentraremos nuestra atención en el estudio de los espacios p. El objetivo principal de esta tesis es estudiar algunas técnicas de construcción de espacios de Banach y presentar la solución de A. Szankowski a dos de los problemas centrales del Análisis Funcional. En el Capítulo 2 recordaremos algunas definiciones y teoremas básicos de la teoría de espacios de Banach que estaremos utilizando a todo lo largo de este trabajo. En el Capítulo 3 estudiamos el concepto de una base de Schauder. Existen muchas razones para estudiar las bases de Schauder. Al igual que las bases de Hamel en espacios lineales, las bases de Schauder nos proporcionan una perspectiva m ́as profunda de las propiedades de los espacios de Banach, además de facilitar la solución de muchos problemas. Por otro lado, se pueden conocer ciertas características de los espacios de Banach, con solo averiguar lo que sucede con los elementos de la base. Finalmente, también nos permiten reformular muchos problemas clásicos del Análisis Funcional, de tal manera que resulten ser problemas involucrándolas. Esto ha permitido resolver problemas clásicos que permanecieron abiertos por muchos años.