Compactificación del espacio moduli de curvas elípticas

Abstract

The objective of this thesis is to study one of the classic problems of the moduli, using only complex variable with a little of the Geometric Invariant Theory. What we intend to explain is the way to compact the moduli of complex bulls, which is the same as the moduli of non-singular elliptic curves on C. Without going into technical details we consider the following situation: Let T be a set of geometric objects. We want to find a space M with certain algebraic and geometric properties, whose points classify elements of T, or more generally, classes of equivalence of such elements under an isomorphism relation. The algebraic and geometric structure of M must be in a natural way, so that the geometric objects in T vary in an algebraic family whose objects have the same dimension, and that the moduli of T varies algebraically in M. In other words, given a family π: C → B whose fibers {π -1 (b): b ∈ B} are elements of T and the application B → M that assigns each b ∈ B the equivalence class [π - 1 (b)] in M ​​must be algebraic. In this thesis we study the following problem: For each t ∈ C, let C t be the cubic curve given as the zeros of the polynomial y 2 z - x (x - tz) (x - tλz). Let T = {C t: t ∈ C}. It is not difficult to be convinced that for t = 0 the curve C t is isomorphic to the curve C 1, which is a non-singular cubic curve (non-singular elliptic curve).

El objetivo de esta tesis consiste en estudiar uno de los problemas clásicos del moduli, utilizando solo variable compleja con un poco de la Teoría Geométrica de Invariantes. Lo que pretendemos explicar es la manera de compactificar el moduli de Toros Complejos, que es lo mismo que el moduli de Curvas Elípticas no singulares sobre C. Sin entrar en detalles técnicos nosotros consideramos la siguiente situación: Sea T un conjunto de objetos geométricos. Queremos encontrar un espacio M con ciertas propiedades algebraicas y geométricas, cuyos puntos clasifica elementos de T , o más generalmente, clases de equivalencia de tales elementos bajo una relación de isomorfismo. La estructura (de esquema) algebraica y geométrica de M debe ser de un modo natural, de tal forma que los objetos geométricos en T varíen en una familia algebraica cuyos objetos tengan la misma dimensión, y que el moduli de T varíe algebraicamente en M. Dicho de otra manera dada una familia π : C → B cuyas fibras {π −1 (b) : b ∈ B} son elementos de T y la aplicación B → M que asigna a cada b ∈ B la clase de equivalencia [π −1 (b)] en M deber ́ a ser algebraica. En esta tesis estudiamos el siguiente problema: Para cada t ∈ C, sea C t la curva cubica dada como los ceros del polinomio y 2 z − x(x − tz)(x − tλz). Sea T = {C t : t ∈ C}. No es difícil convencerse que para t = 0 la curva C t es isomorfa a la curva C 1 , la cual es una curva c ́ ubica no singular (curva elíptica no singular).