Geometría y topología del grupo F2

Abstract

The concept of free group arises in 1882 in the article Gruppentheoretische Studien of Walter Dyck, nevertheless, they receive the name of free groups until 1924 when J. Nielsen introduces this concept. By the year 1920 K. Reidmeister, O. Schreier and J. Nielsen proved that every subgroup of a free is free. Examples of free groups may be the group of integers under the addition operation with generator set S = {1}. In algebraic topology we have that the fundamental group of k circles with one point in common is the free group in k generators. When k = 2 we have the free group in two generators, this group, a priori, seems to be very simple, however its treatment is not, can be shown, for example, that it contains as subgroup any free group in a finite quantity or Infinite of generators, for this we need techniques of covering spaces.

El concepto de grupo libre surge en 1882 en el artículo Gruppentheoretische Studien de Walter Dyck, sin embargo, reciben el nombre de grupos libres hasta 1924 cuando J. Nielsen introduce este concepto. Para el año de 1920 K. Reidmeister, O. Schreier y J. Nielsen probaron que todo subgrupo de un libre es libre. Ejemplos de grupos libres pueden ser el grupo de los números enteros bajo la operación de adición con conjunto generador S = {1}. En topología algebraica se tiene que el grupo fundamental de k círculos con un punto en común es el grupo libre en k generadores. Cuando k = 2 se tiene el grupo libre en dos generadores, este grupo, a priori, parece ser muy sencillo, sin embargo su tratamiento no lo es, puede por ejemplo, mostrarse que contiene como subgrupo a cualquier grupo libre en una cantidad finita o infinita de generadores, para ello se necesitan técnicas de espacios cubrientes.