Variedades asféricas exóticas

Abstract

A topological variety is spherical and its universal covering is contractible. You are in several geometric contexts. In general, to demonstrate that a topological variety is aspherical, what is sought is to identify a universal cover with Euclidean space. For example: 1. the universal covering of a Riemann surface of positive genus is the plane of the interior of the disk. 2. If M is any complete Riemannian manifold of non-positive sectional curvature, and the exponential application exp: TxM! M (at any point x2M) is a covering projection; Then, the universal cover of M is diffeomorphic to TxM _ Rn. 3. Let G be any non-compact Lie group with compact maximum subgroup K. Let G be any discrete and free torsional subgroup, and the natural action of over G = K is free and proper. Thus, the universal covering of the variety ?? n G = K is G = K, and this is diffeomorphic to the Euclidean space. Due to these examples, in [17] the following was conjectured: Guess. The universal covering of any closed aspherical manifold is homeomorphic to Euclidean space. However, in his study of groups of reflection on varied contractures, Michael Davis showed that for 4 there are closed exotic aspherical varieties, that is, aspherical closed varieties whose universal cover is not homeomorphic to Euclidean space. In the present work, we will review the Davis construction of these varied closed exotic aspheres.

Una variedad topológica M es asférica si su cubriente universal es contraíble. Estas surgen en diversos contextos geométricos. En general, para demostrar que una variedad topológica es asférica lo que se busca es identificar a su cubriente universal con el espacio euclidiano. Por ejemplo: 1. El cubriente universal de una superficie de Riemann de género positivo es el plano o el interior del disco. 2. Si M es cualquier n variedad riemannniana completa de curvatura seccional no positiva, entonces la aplicación exponencial exp: TxM! M (en cualquier punto x2M) es una proyección cubriente; luego, el cubriente universal de M es difeomorfo a TxM _ Rn. 3. Sea G cualquier grupo de Lie no compacto con subgrupo maximal compacto K. Sea G cualquier subgrupo maximal discreto y libre de torsión, entonces la acción natural de sobre G=K es libre y propia. Así, el cubriente universal de la variedad ?? n G=K es G=K, y este es difeomorfo al espacio euclidiano. Debido a estos ejemplos, en [17] se conjeturó lo siguiente: Conjetura. El cubriente universal de cualquier variedad asférica cerrada es homeomorfo al espacio euclidiano. Sin embargo, en su estudio de grupos de reflexión sobre variedades contraíbles, Michael Davis mostró que para n 4 existen variedades asféricas cerradas exóticas, es decir, variedades asféricas cerradas cuyo cubriente universal no es homeomorfo al espacio euclidiano [8]. En el presente trabajo, revisaremos la construcción de Davis de estas variedades asféricas cerradas exóticas.