Algunos invariantes no preservados bajo isomorfismos de marcas

Abstract

The group marks table gives us a lot of information about the group, for example; The order of the group, the number of subgroup conjugation classes, the subgroup indexes, the subgroup orders, the number of subgroups, the order of the normalizer, the index of a subgroup in its normalizer, the normal subgroups, the subgroups Subgroups, among others. Groups with tables of isomorphic marks are not necessarily isomorphic, so it is expected that some properties are not determined by the table of marks, such is the case of abelian subgroups and the center of a group. The work of the thesis consisted in the construction of the pair of groups of smaller order with table of isomorphic marks to demonstrate that the characteristic subgroups are one of those properties that are not determined by the table of marks. Two non-isomorphic groups G and Q of order 96 with isomorphic mark table were found with the help of the GAP software. And it turned out that these groups have centers of different order, the center of G is of order 4, while the center of Q is of order 8. In addition a list of representatives of the subgroup conjugation classes of G was obtained and Observed a subgroup that is characteristic and such that its corresponding subgroup of group Q is not. To prove that it was not characteristic, GAP was used to show us the automorphisms generating the automorphism group of Q and from these to determine the automorphism that did not meet the definition of a characteristic subgroup.

La tabla de marcas de un grupo nos ofrece mucha información acerca del grupo, por ejemplo; el orden del grupo, el número de clases de conjugación de subgrupos, los índices de los subgrupos, los órdenes de los subgrupos, el número de subgrupos, el orden del normalizador, el índice de un subgrupo en su normalizador, los subgrupos normales, los subgrupos maximales, entre otros. Grupos con tablas de marcas isomorfas no necesariamente son isomorfos, por lo que se espera que algunas propiedades no estén determinadas por la tabla de marcas, tal es el caso de los subgrupos abelianos y el centro de un grupo. El trabajo de la tesis consistió en la construcción del par de grupos de orden más pequeño con tabla de marcas isomorfas para demostrar que los subgrupos característicos son una de esas propiedades que no están determinados por la tabla de marcas. Con la ayuda del software GAP se encontraron dos grupos no isomorfos G y Q de orden 96 con tabla de marcas isomorfas. Y resultó que dichos grupos tienen centros de distintos orden, el centro de G es de orden 4, mientras que el centro de Q es de orden 8. Además se obtuvo una lista de los representantes de las clases de conjugación de subgrupos de G y se observó un subgrupo que es característico y tal que su correspondiente subgrupo del grupo Q no lo es. Para probar que no era característico se utilizó GAP para que nos mostrara los automorfismos generadores del grupo de automorfismos de Q y a partir de estos determinar el automorfismo que no cumpliera con la definición de subgrupo característico.