Análisis de la solución numérica de la ecuación de Black Scholes

Abstract

The development of the present work consists in solving numerically and in the application of an analysis of the approximation of the numerical solution of a partial differential equation, which is known in economics as the Black Scholes equation. The idea of ??solving it numerically is because it is an equation difficult to approximate and it facilitates us to be able to analyze any function that we want. In order to find the approximation of the solution and to make the analysis, we resort to a numerical method, the finite difference method and that uses Taylor series for its development. The finite difference method consists in substituting the continuous equation into a discretized one, that is, one that resembles the original one and which we can use numerically. We present the Lax theorem that tells us that a system is stable if and only if it is convergent and consistent, and each one is discussed. Codes are presented on how to solve classic equations such as diffusion, wave, etc., as well as the exhaustive analysis of the numerical characteristics of these codes, including the stability of the presented schemes. Finally, we present the equation to be solved, its characteristics and the codes that will solve the Black Scholes equation, the analysis of why one works and others not and the comparison with its analytical solution. This analysis will help us to understand more thoroughly the behavior of this equation, as well as it is quicker if we solve it analytically.

El desarrollo del presente trabajo, constituye en resolver numéricamente y en la aplicación de un análisis de la aproximación de la solución numérica de una ecuación diferencial parcial, que es conocida en economía como la ecuación de Black Scholes. La idea de resolverla numéricamente es porque es una ecuación difícil de aproximar y nos facilitara para poder analizar cualquier función que queramos. Para poder encontrar la aproximación de la solución y hacer el análisis, recurrimos a un método numérico, el método de diferencias finitas y que utiliza series de Taylor para su desarrollo. El método de diferencias finitas consiste en sustituir la ecuación continua en una discretizada, es decir, una que se parezca a la original y que nosotros podamos usarla numéricamente. Se presenta el teorema de Lax que nos dice que un sistema es estable si y solo si es convergente y consistente, y se discuten cada una de ellas. Se presentan códigos de cómo se resolvieron unas ecuaciones clásicas como la de difusión, onda, etc., además del análisis exhaustivo de las características numéricas de dichos códigos, incluyendo la estabilidad de los esquemas presentados. Por último, se presenta la ecuación a resolver, sus características y los códigos que resolverán la ecuación de Black Scholes, el análisis del porque uno si funciona y otros no y la comparación con su solución analítica. Este análisis nos ayudara para entender más a fondo el comportamiento de dicha ecuación, además de que es más rápido que si la resolvemos analíticamente.