Espacios topológicos ordenados

Abstract

Topology is the mathematical discipline that studies the properties of sets in general when they are given an idea of ??closeness between the elements of the set (in this sense they are called topological spaces). In our case we will consider sets that already have a structure, more precisely sets on which one has or is possible to give them a total order. To these there is a natural way of endowing them with a topology. Just as order induces a topology in the set of real numbers that so frequently appears in any area of ??mathematics, what is attempted is to see what results can be generalized to other ordered spaces, as well as how much or what properties such Such as connectivity, compactness, ..., etc. Are still preserved, or what are the conditions that should satisfy the space to be able to say of this that it is first numerable, measurable or any other property that helps us to better understand the nature of this type of spaces. Another type of assemblies quite important, both for topology and set theory are ordinal, since these are not only ordered sets but are still well ordered. These make their appearance in this work mainly as particular examples of ordered spaces. Its topological properties are analyzed, and used as counterexamples. All of this is carefully analyzed in order to get a clearer idea of ??how the ordered spaces behave topologically. In order to understand all this, it is assumed that the reader has taken at least one course of general topology and a course of set theory, because in this work, basic results of these areas are freely used, mentioning them only by completeness.

La topología es la disciplina matemática que estudia las propiedades de conjuntos en general cuando se les dota de una idea de cercanía entre los elementos del conjunto (en este sentido ya se les llama espacios topológicos). En nuestro caso consideraremos conjuntos que ya cuentan con una estructura, más precisamente conjuntos sobre los cuales se tiene o es posible darles un orden total. A estos hay una forma natural de dotarlos con una topología. Al igual que el orden induce una topología en el conjunto de los números reales que tan frecuentemente aparece en cualquier área de las matemáticas, lo que se intenta es ver qué resultados se pueden generalizar a otros espacios ordenados, así como qué tanto o qué propiedades tales como conexidad, compacidad,..., etc. se siguen preservando, o cuáles son las condiciones que debería satisfacer el espacio para poder decir de este que es primero numerable, metrizable o cualquier otra propiedad que nos ayude a entender mejor la naturaleza de este tipo de espacios. Otro tipo de conjuntos bastante importantes, tanto para la topología como para la teoría de conjuntos son los ordinales, ya que estos no sólo son conjuntos ordenados sino que más aún están bien ordenados. Estos hacen su aparición en este trabajo principalmente como ejemplos particulares de espacios ordenados. Se analizan sus propiedades topológicas, y se utilizan como contraejemplos. Todo esto antes mencionado se analiza con cuidado para llegar a tener una idea más clara de cómo se comportan topológicamente los espacios ordenados. Para poder entender todo esto se supone que el lector ha llevado al menos un curso de topología general y un curso de teoría de conjuntos, pues en este trabajo se utilizan libremente resultados básicos de estas áreas, mencionándolos únicamente por completez.