Grupo de Veech en superficies planas asociadas a billares irracionales

Abstract

The notion of a game of pool in a rectangular table can be abstracted and be studied from a mathematical point of view, where the pool table can take the form of an arbitrary polygon and consider the trajectory of the ball in it. Formally pool theory appeared in the work of Ya. G. Sinai in 1970 , is theory which is only 43 years old , grew and developed at a remarkable rate ; shown to have some relation to physical processes , making sophisticated use of ergodic theory , which has allowed him to enter the modern field of dynamical systems and statistical mechanics ; proof of this is that in January 2005 , gave more than 1.4000 MathSciNet related to "Billiards" inputs, but it is noteworthy that most of it is related to billiards in polygons having all its interior angles λπ form with rational number λ ( rational) polygon , and not for the irrational case, the latter is one of the reasons to develop properties for the case of billiards in irrational polygons, in particular the theorem stated at the end that characterizes the Veech group Γ ( S ) of the surface associated with irrational polygon P.

La noción de un juego de billar en una mesa rectangular puede ser abstraída y ser estudiada desde el punto de vista matemático, donde la mesa de billar puede tomar la forma de un polígono arbitrario y estudiar la trayectoria de la bola en ella. Formalmente la teoría del billar apareció en el trabajo de Ya. G. Sinai en el año 1970, está teoría que está a sólo 43 años de edad, creció y se desarrolló a una velocidad notable; mostrando tener cierta relación con procesos físicos, haciendo un uso sofisticado de la teoría ergódica, lo que le ha permitido introducirse en el ámbito moderno de los sistemas dinámicos y la mecánica estadística; prueba de ello es que en enero de 2005, MathSciNet dio más de 1.4000 entradas relacionadas al “Billar", aunque cabe destacar que la mayor parte está relacionada a billares en polígonos que tienen todos sus ángulos interiores de la forma λπ con λ número racional (polígonos racionales), y no así para el caso irracional, este último es una de las razones que motivan a desarrollar propiedades para el caso de billares en polígonos irracionales, en particular el teorema, expuesto al final, que caracteriza el grupo de Veech Γ(S) de la superficie asociada al polígono irracional P.