Espacios de Dowker

Abstract

TThe topology of sets is the branch of mathematics which, among other things, investigates fundamental properties of topological spaces, such as the concepts of separability and compactness. One of the many things that is in charge of studying this branch of mathematics are the properties preserved by the Cartesian product. In this paper it is assumed that the reader has taken at least one course in bachelor's theory of sets and one or two courses of topology so that many basic results and definitions are not included. It is recommended that the reader has some mastery in the logic of first-order predicates. If not, the third section of the first chapter gives a general, if unformal, idea of ​​mathematical logic. You can query [2], [1], [5] in case a definition or result is omitted. The purpose of this work is not only to show that there are Dowker spaces, but also to expose new techniques that are being used in the topology area, such as the elementary submodels technique (see chapter 5). It is well known from a first course of topology that normality is not preserved under the Cartesian product (just remember the line of Sorgenfrey). A binormal space X is a space T 4 such that if I is the interval [0, 1] with the topology of the usual distance, the product X × I turns out to be T 4. In 1951, Clifford Hugh Dowker gives a characterization of The binomial spaces (see Chapter 2) and spaces that are not binomial are called Dowker spaces. The study of this type of spaces was born thanks to the Algebraic Topology. There are several theorems of homotopy extensions which require as hypothesis that X × I is a normal space. At that time it was not known if there were Dowker spaces, so they did not know if that hypothesis was necessary.

La topología de conjuntos es la rama de las matemáticas la cual, entre otras cosas, investiga propiedades fundamentales de los espacios topológicos, como por ejemplo, los conceptos de separabilidad y compacidad. Una de las tantas cosas que se encarga de estudiar esta rama de las matemáticas son las propiedades preservadas por el producto cartesiano. En este trabajo se asume que el lector ha cursado, al menos, un curso de licenciatura de teoría de conjuntos y uno o dos cursos de topología por lo que muchos resultados y definiciones básicas no se incluyen. Se recomienda que el lector tenga algo de dominio en la lógica de predicados de primer orden. En caso de que no, la tercera sección del primer capítulo da una idea general, aunque poco formal, de la lógica matemática. Usted puede consultar [2], [1], [5] en caso de que una definición o algún resultado se omitan. El propósito de este trabajo no es solamente mostrar que existen espacios de Dowker, si no también el exponer nuevas técnicas que están siendo utilizadas en el área de topología, como por ejemplo lo es la técnica de los submodelos elementales (ver capítulo 5). Es bien sabido de un primer curso de topología que la normalidad no es preservada bajo el producto cartesiano (basta recordar la recta de Sorgen- frey). Un espacio binormal X es un espacio T 4 tal que, si I es el intervalo [0, 1] con la topología de la distancia usual, el producto X × I resulta ser T 4. En 1951, Clifford Hugh Dowker da una caracterización de los espacios binormales (véase capítulo 2) y a los espacios que no son binormales se les llama espacios de Dowker. El estudio de este tipo de espacios nació gracias a la Topología Algebraica. Existen varios teoremas de extensiones de homotopías los cuales requieren como hipótesis que X ×I sea un espacio normal. En ese entonces no se conocía si existían los espacios de Dowker, por lo que no sabían si esa hipótesis era necesaria.