Geometría de la aplicación canónica en superficies de Riemann compactas

Abstract

In the mid-nineteenth century Bernhard Riemann began to form the idea of ??a Riemann surface, with attempts to naturally extend the analytic functions defined on an open U ? C. This was achieved over overlapping open copies of the same. Riemann's current surface theory in addition to making use of complex analysis uses various concepts of topology, algebra and differential and algebraic geometry. The Chow Theorem shows that every compact Riemann surface is a projective algebraic curve, that is, that any compact Riemann surface can be seen as the set of zeros of a finite number of non-singular homogeneous polynomials in some projective space P n. Through the use of holomorphic vector beams it is possible to define holomorphic applications to the projective space, in particular we have an application of one determined by the canonical beam surface of compact Riemann. This application, turns out to be known as canonical application, a fitting for compact non-hyperliptic Riemann surfaces. It is possible to show that any compact Riemann surface of g January g ? 2 is hypereliptic and that a compact Riemann surface of g January g ? 3 is not generally hypereliptic (see [Gri89]). Thus, the purpose of this work is to study the geometry given by the canonical application for the case of compact non-hyperliptic Riemann surfaces of genus g = 3, 4, 5. For this, in Chapter 1 we study some properties of complex varieties , Concentrating on the particular case of Riemann surfaces. We also introduce the notion of vector beam and mention some of its properties and briefly mention the construction of the canon beam of a complex variety in general.

A mediados del siglo XIX Bernhard Riemann comenzó a formar la idea de una superficie de Riemann, con los intentos de extender de manera natural las funciones analíticas definidas sobre un abierto U ? C. Esto se logró sobre copias del mismo abierto que se solapaban. La teoría actual de superficies de Riemann además de hacer uso del análisis complejo utiliza diversos conceptos de topología, álgebra y geometría diferencial y algebraica. El Teorema de Chow muestra que toda superficie de Riemann compacta es una curva algebraica proyectiva, es decir, que toda superficie de Riemann compacta puede ser vista como el conjunto de ceros de una cantidad finita de polinomios homogéneos no singulares en algún espacio proyectivo P n . Mediante el uso de haces vectoriales holomorfos es posible definir aplicaciones holomorfas al espacio proyectivo, en particular se tiene una aplicación de una determinada por el haz canónico superficie de Riemann compacta. Esta aplicación, resulta ser conocida como aplicación canónica, un encaje para superficies de Riemann compactas no hiperelípticas. Es posible mostrar que toda superficie de Riemann compacta de g ?enero g ? 2 es hiperelíptica y que una superficie de Riemann compacta de g ?enero g ? 3 en general no es hiperelíptica (ver [Gri89]). Así, el propósito de este trabajo es estudiar la geometría dada por la aplicación canónica para el caso de superficies de Riemann compactas no hiperelípticas de género g = 3, 4, 5. Para esto, en el Capítulo 1 estudiamos algunas propiedades de las variedades complejas, concentrándonos en el caso particular de superficies de Riemann. También introducimos la noción de haz vectorial y mencionamos algunas de sus propiedades y mencionamos de manera breve la construcción del haz canónico de una variedad compleja en general.