Control óptimo de la ecuación de onda mediante el método del problema de momentos

Abstract

In the present work we consider a vibrating string bounded in the interval [0, S] (see Figure 1). We assume that the initial amplitude ? 0 (x) and the initial velocity at each point ? 1 (x) are given. Where ? 0 (x) and ? 1 (x) are defined in [0, S] and are C 1 piecewise. The boundary conditions of the vibrating string are described by the functions u 1 (t) and u 2 (t). Our problem is to find the functions u 1 (t) yu 2 (t) of the class L 2 [0, T] such that the state and velocity of the vibrating string at time T, for x ? [0, S] , Is zero. In addition, we will require that time T be the least possible, this problem is called the optimal control time of a vibrating string, which will be reduced to the problem of moments in normed spaces (see Chapter 3). We will now give the problem statement in terms of a differential equation in partial derivatives, more precisely, the wave equation with given initial conditions and boundary conditions to be determined.

En el presente trabajo consideramos una cuerda vibrante acotada en el intervalo [0, S] (ver Figura 1.). Asumimos que están dadas la amplitud inicial ? 0 (x) y la velocidad inicial en cada punto ? 1 (x). Donde ? 0 (x) y ? 1 (x) están definidas en [0, S] y son C 1 a trozos. Las condiciones de contorno de la cuerda vibrante están descritas por las funciones u 1 (t) y u 2 (t). Nuestro problema consiste en hallar las funciones u 1 (t) y u 2 (t) de la clase L 2 [0, T] tal que el estado y la velocidad de la cuerda vibrante en tiempo T, para x ? [0, S], sea cero. Además, requeriremos que el tiempo T sea el mínimo posible, este problema se llama el tiempo de control óptimo de una cuerda vibrante, el cual será reducido al problema de momentos en espacios normados (ver capítulo 3). A continuación daremos el planteamiento del problema en términos de una ecuación diferencial en derivadas parciales, más precisamente, la ecuación de onda con condiciones iniciales dadas y condiciones de contorno por determinar.