Un algoritmo rápido para la transformación canónica lineal

Abstract

Within the integrals transformations, one of great relevance by its great number of applications is the Linear Canonic Transformation, that arises clearly in the Quantum Mechanics. It is well known that many powerful techniques for solving classical mechanics problems are based on canonical transformations, that is, on transformations in the phase space that meet certain conditions, 1 so that it can be considered that before being consolidated as Canonical Transformation Linear, their bases were used as tools to solve problems in Classical Mechanics, as mentioned by Marcos Moshinsky around 1973 in [1]. The Linear Canonic Transformation generalizes to other integral transformations as the fractional of Fourier that in turn generalizes the standard Fourier transform. Other special cases of the Linear Canonical Transformation are the bilateral Laplace transform and the Fresnel transform, among others. Some of its applications are given in Holography, Signal Analysis, Pattern Recognition, Electromagnetic Wave Propagation, Optical Diffraction, etc. In Holography, the Fourier Transform is used to store information in very small spaces, which allows to make storage devices that occupy less space [2]. An important application of the Fourier transform in Pattern Recognition is in quality control [3], [4]. For example, an industry producing glassware can apply this Transformation to create an ideal pattern of one of its articles and compare it to the patterns of other articles. 1 In the first chapters, details of the conditions to be met And to address in detail how linear canonical transformation arises. They occur, so that when any of these articles has a minimal defect, it is easily revealed as a remarkable shift between the patterns of articles.

Dentro de las transformaciones integrales, una de gran relevancia por su gran número de aplicaciones es la Transformación Canónica Lineal, que surge claramente en la Mecánica Cuántica. Es bien conocido que muchas técnicas poderosas para resolver problemas de la Mecánica Clásica se basan en transformaciones canónicas, es decir, en las transformaciones en el espacio fase que cumplen con algunas condiciones, 1 por lo que se puede considerar que antes de consolidarse como Transformación Canónica Lineal, se utilizaban sus bases como herramientas para resolver problemas en la Mecánica Clásica, como mencionó Marcos Moshinsky alrededor de 1973 en [1]. La Transformación Canónica Lineal generaliza a otras transformaciones integrales como la fraccional de Fourier que a su vez generaliza la transformada estándar de Fourier. Otros casos especiales de la Transformación Canónica Lineal son la transformada bilateral de Laplace y la de Fresnel, entre otras. Algunas de sus aplicaciones se dan en Holografía, Análisis de señales, Reconocimiento de patrones, Propagación de ondas electromagnéticas, Difracción óptica, etc. En Holografía, se utiliza la Transformada de Fourier para almacenar información en espacios muy pequeños, lo cual permite hacer dispositivos de almacenamiento que ocupen menos espacio [2]. Una aplicación importante de la transformada de Fourier en el Reconocimiento de patrones es en el control de calidad [3], [4]. Por ejemplo, una industria que produzca artículos de vidrio, puede aplicar esta Transformación para crear un patrón ideal de uno de sus artículos e ir comparándolo con los patrones de los otros artículos 1 En los primeros capítulos se verán detalles de las condiciones que se deben cumplir y se abordar ? a con detalle cómo surge la Transformación Canónica Lineal. Que se producen, de modo que cuando alguno de estos artículos tiene un defecto mínimo, se ve revelado fácilmente como un desplazamiento notable entre los patrones de los artículos.