El problema del Hamiltoniano inverso

Abstract

We could talk of dynamical systems as a young area of mathematics, but back to Newton with his studies of Celestial Mechanics and Henri Poincaré, who initiated the qualitative study of differential equations. However, it was made just about 40 years dynamical systems were established as an area itself, thanks to the outstanding work of mathematicians and engineers as: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc. Trying to understand how to evolve the processes of nature leads us to study dynamic systems are complex systems that exhibit a change or development of the state in time, the behavior in that state can be characterized by determining the limits of the system elements and their relationships; this form can develop models that seek to represent the structure thereof system. To define the limits of the system is, first, a selection of those components that contribute to generating modes of behavior, and then space where the study was conducted is determined, omitting aspects irrelevant. Dynamical systems can be classified into two groups, discrete and continuous, according to the nature of its independent variable, time. When this evolves discreet, typical problems of biology, the dynamic system is represented by a recursive equation. But when evolves continuously, the dynamical systems described by differential equations. In the study of dynamical systems is not easy to build analytical solutions equations, so the long-term behavior is analyzed: if stabilize, and to what state or not stabilize, and if the initial conditions are changed.

Podríamos hablar de los sistemas dinámicos como un área joven de las Matemáticas, aunque se remontan a Newton con sus estudios de la Mecánica Celeste y a Henri Poincaré, quien inició el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, fue hace apenas unos 40 años que los sistemas dinámicos se establecieron como un área propiamente dicha, gracias a los trabajos destacados de matemáticos e ingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc. El tratar de entender cómo evolucionan los procesos de la naturaleza nos lleva a estudiar sistemas dinámicos que son sistemas complejos que presentan un cambio o evolución de su estado en el tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo aspectos irrelevantes. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en dos grupos, discretos y continuos, según la naturaleza de su variable independiente, el tiempo. Cuando esta evoluciona en forma discreta, típico en problemas de biología, el sistema dinámico se representa mediante una ecuación recursiva. En cambio, cuando evoluciona en forma continua, los sistemas dinámicos se describen mediante ecuaciones diferenciales. En el estudio de los sistemas dinámicos no es fácil construir soluciones analíticas de las ecuaciones, por lo que se analiza el comportamiento a largo plazo: si se estabilizará, y hacia qué estado, o no se estabilizará, y que pasa si se cambian las condiciones iniciales.