Espacios de Fischer

Abstract

For more than 5000 years, geometry has played an essential role in the development of mathematics, perhaps because sight is the sense with which the human being better perceives and understands what surrounds him. Geometry was initially treated as a theory that explained a plane universe according to Euclidean thinking; This idea changed just a little over 200 years ago. With the birth of other thoughts, geometry ceased to be a theory to become a way of thinking, an area of ​​mathematics that, according to David Hilbert, studies dot spaces, their lines (which are sets of points), the Transformations that exist between these spaces and the invariants that leave these transformations. With this new concept of geometry, geometric spaces are not forced to be infinite. To formalize the idea of ​​a discrete geometric space is defined a partially linear space, which is a set of points that only has a structure of colineality; The lines of space are sets of at least two points and such that they concur in at most one point. Having the idea of ​​a finite geometric space would not be helpful without having transformations between them. These transformations can not preserve anything other than collinearity, since it is the only structure we give to partially linear spaces. At this moment is when a natural question arises, why study discrete geometric spaces, if we already know spaces with many more points and much more structure? The answer is simple, the study of finite algebraic structures is fundamental to the understanding of much modern mathematics, and finite geometric spaces appear naturally in many of these structures.

Desde hace más de 5000 años, la geometría ha jugado un papel esencial en el desarrollo de las matemáticas, tal vez porque la vista es el sentido con el que el ser humano mejor percibe y entiende lo que le rodea. La geometría fue, inicialmente, tratada como una teoría que explicaba un universo plano de acuerdo con el pensamiento euclidiano; esta idea cambio apenas hace un poco más de 200 años. Con el nacimiento de otros pensamientos, la geometría dejó de ser una teoría para pasar a ser una forma de pensar, un área de las matemáticas que, según David Hilbert, estudia espacios de puntos, sus líneas (que son conjuntos de puntos), las transformaciones que hay entre dichos espacios y los invariantes que dejan estas transformaciones. Con este nuevo concepto de geometría, los espacios geométricos no quedan forzados a ser infinitos. Para formalizar la idea de un espacio geométrico discreto se define un espacio parcialmente lineal, que es un conjunto de puntos que, únicamente, posee una estructura de colinealidad; las líneas del espacio son conjuntos de, al menos, dos puntos y tales que estas concurren en, a lo más, un punto. Tener la idea de un espacio geométrico finito no sería provechosa sin tener transformaciones entre ellos. Estas transformaciones no pueden preservar otra cosa que no sea la colinealidad, ya que es la u nica estructura que le damos a los espacios parcialmente lineales. En este momento es cuando surge una pregunta natural ¿para qué estudiar los espacios geométricos discretos, si ya conocemos espacios con mucho más puntos y mucho más estructura? La respuesta es sencilla, el estudio de las estructuras algebraicas finitas es fundamental para el entendimiento de gran parte de las matemáticas modernas, y los espacios geométricos finitos aparecen de forma natural en muchas de estas estructuras.