Polinomios ortogonales y el problema de momentos de Hausdorff

Abstract

In this thesis we consider the problem of finding the orthogonal polynomials in a bounded interval, from the resolving matrix (MR) of the Hausdorff moment problem. The MR represents a 2 × 2 polynomial matrix of the form U (z) = α (z) β (z), γ (z) δ (z) where the elements α, β, γ and δ are polynomials. Information of the moments. The resolvent matrix is ​​used to give the solution of a Hausdorff moment problem in terms of the associated function I (σ, z) = α (z) ω (z) + β (z) γ (z) ω (z) + Δ (z) where ω belongs to a certain class of holomorphic functions (class of functions R [a, b] and S [a, b], see Annex). In this thesis we obtain the orthogonal polynomials corresponding to the odd case number of moments, case scalar. A new form for the MR, of the case mentioned (see lemma 3.1) allows the development in orthogonal polynomials in an analogous way as in [8]. In the cases of MR of an odd or even number of moments, two families of orthogonal polynomials of the first species with respect to positive measures or different distributions stand out for each problem; And two families of polynomials, called second species.

En la presente tesis se considera el problema de hallar los polinomios ortogonales en un intervalo acotado, a partir de la matriz resolvente (MR) del problema de momentos de Hausdorff. La MR representa una matriz polinomial 2 × 2 de la forma U(z) = α(z) β(z) , γ(z) δ(z) donde los elementos α, β, γ y δ son polinomios, y llevan la información de los momentos. La matriz resolvente es usada para dar la solución de un problema de momentos de Hausdorff en términos de la función asociada I(σ, z) = α(z)ω(z) + β(z) γ(z)ω(z) + δ(z) donde ω pertenece a una cierta clase de funciones holomorfas ( clase de funciones R[a, b] y S[a, b], ver Anexo). En esta tesis se obtienen los polinomios ortogonales correspondientes al caso número impar de momentos, caso escalar. Una nueva forma para la MR, del caso mencionado (ver lema 3.1) permite el desarrollo en polinomios ortogonales de manera análoga como en [8]. En los casos de la MR de un número par o impar de momentos destacan para cada problema, dos familias de polinomios ortogonales de primera especie respecto de medidas positivas o distribuciones distintas; y dos familias de polinomios, llamados de segunda especie.