Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas usando volúmenes finitos acoplados a UNAMalla

Abstract

Mathematical modeling is a mental representation of physical reality using partial differential equations (EDP). In the universe there are an infinite number of phenomena that can be modeled with EDPs. These phenomena can be diffusion, vibrations, thermal equilibrium, transport phenomena in fractured reservoirs, diffusion of a contaminant in an aquifer, heat transfer, among others. There are some analytical methods that solve very simple EDPs: homogeneous in regions of simple geometry, however, we know that these idealized cases are hardly present in nature. The finite volume method (MVF) is an integral method that combines the simplicity of finite differences with the finite element precision and flexibility. It is a powerful numerical technique for solving partial differential equations (EDP) or ODE systems (Ordinary Differential Equations), in the form of approximations using algebraic equations. The MVF is considered the most versatile technique of discretization used in Computational Fluid Dynamics because it is based on the same formulation of the control volume used in traditional fluid analytical dynamics. The most important characteristic of the MVF is that the resulting solution respects locally and globally the conservation of mass, momentum, energy and solutes concentration. In its simplest version, the MVF is similar to the finite difference method; In its most advanced version is similar to the finite element method, with a weighting function equal to 1. It should be noted that there is no single systematic way to obtain the discrete algebraic system approximated by the MVF, in fact, the Physical intuition, technical knowledge and praxis of the problem are the key ingredient to obtain a scheme that satisfies the properties of precision, robustness and low computational cost required in the approximation of a problem with this method.

La modelación matemática es una representación mental de la realidad física utilizando ecuaciones diferenciales parciales (EDP). En el universo existen una infinidad de fenómenos que pueden ser modelados con EDPs. Estos fenómenos pueden ser difusión, vibraciones, equilibrio térmico, fenómenos de transporte en reservorios fracturados, difusión de un contaminante en un acuífero, transferencia de calor, entre otros. Existen algunos métodos analíticos que resuelven EDPs muy sencillas: homogéneas en regiones de geometría simple, sin embargo, sabemos que en la naturaleza difícilmente se presentan estos casos idealizados. El método de volúmenes finitos (MVF) es un método integral que combina la sencillez de las diferencias finitas con la precisión y flexibilidad de los elementos finitos. Es una poderosa técnica numérica para resolver ecuaciones en derivadas parciales (EDP) o de sistemas de EDO (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias), en forma de aproximaciones utilizando ecuaciones algebraicas. El MVF se considera la técnica más versátil de discretización utilizada en la Dinámica Computacional de Fluidos, porque se basa en la misma formulación del volumen de control usada en la dinámica analítica de fluidos tradicional. La característica más importante del MVF es que la solución resultante res- peta local y globalmente la conservación de la masa, del momentum, de la energía y de la concentración de solutos. En su versión más simple, el MVF es similar al método de diferencias finitas; en su versión más avanzada es similar al método de elementos finitos, con una función de ponderación igual a 1. Hay que destacar el hecho de que no existe una forma sistemática única para obtener el sistema algebraico discreto aproximado por el MVF, de hecho, la intuición física, los conocimientos técnicos y la praxis del problema, son el ingrediente clave para obtener un esquema que satisfaga las propiedades de precisión, robustez y bajo costo computacional requeridos en la aproximación de un problema con este método.