Flujo de curvatura media de una superficie en R4

Abstract

In the theory of surfaces in Rn, the curvature of Gauss K and the vector of mean curvature H play a fundamental role. They are two-order invariants of a surface, but of a very different nature: the Gauss curvature is an invariant of the intrinsic surface geometry (Theorema egregium), while the mean curvature vector depends on the specific surface fit. The latter tells us how much the surface is curved in the ambient space at each point and in what direction it does. The problem addressed in this thesis arises when considering a surface in R4 and begin to deform it in the direction of its vector of mean curvature H, that is, the surface deforms at each point as much as the norm of the mean curvature vector and in the direction Of this. This process is formally described through an evolution equation, which tells us how each point of the surface changes during its deformation; The fact of causing the surface to be deformed in the desired direction is achieved by imposing the condition that the velocity vector of the deformation coincides at each point with H. The family of surfaces obtained during deformation is called the mean curvature flux of The starting surface.

En la teoría de superficies en Rn, la curvatura de Gauss K y el vector de curvatura media H juegan un papel fundamental. Son invariantes de orden dos de un superficie, pero de naturaleza muy distinta: la curvatura de Gauss es un invariante de la geometría intrínseca de la superficie (Theorema egregium), mientras que el vector de curvatura media depende del encaje especifico de la superficie. Este último nos dice que tanto se curva en el espacio ambiente la superficie en cada punto y en que dirección lo hace. El problema tratado en esta tesis surge al considerar una superficie en R4 y comenzar a deformarla en dirección de su vector de curvatura media H, esto es, la superficie se deforma en cada punto tanto como la norma del vector de curvatura media y en la dirección de este. Este proceso es descrito formalmente a través de una ecuación de evolución, la cual nos dice cómo cambia cada punto de la superficie durante su deformación; el hecho de hacer que la superficie se deforme en la dirección deseada se logra imponiendo la condición de que el vector velocidad de la deformación coincida en cada punto con H. La familia de las superficies obtenidas durante la deformación es llamada el flujo de curvatura media de la superficie inicial.