El uso de modelos en la geometría de Lobachevski

Abstract

Geometry and arithmetic are the oldest branches of mathematics. The origin of both disciplines goes back to the ancient civilizations of Egypt and Mesopotamia; Arose from the need of the inhabitants of these regions to solve practical problems. From the beginning and until about 800 BC, the knowledge acquired in these regions was obtained through experience and tested through experimentation. This satisfied the practical needs of that population, and perhaps for this reason no attempt had been made to give a more formal treatment to mathematics. The Greeks were the first to attempt to formalize mathematics. Being heirs of much of the knowledge that the Egyptians and Babylonians had acquired, and because of their fondness and ability to elaborate theories to explain the universe, in mathematics they wanted to reach a higher level of abstraction. Their social structure allowed them to achieve this purpose, because they had people dedicated only to it. In Greece, there were several mathematicians who discovered important theorems using a type of reasoning that would allow to introduce arguments that justify what was affirmed. Undoubtedly, for the purposes of this work, the most important is Euclid of Alexandria, who lived around 300 BC. Euclid compiled all the mathematical knowledge of his time, in thirteen books known as The Elements. In The Elements, Euclid begins by giving definitions of the most elemental terms and makes statements that relate these terms, which are called postulates. In addition, Euclid gives some common notions known as axioms. From this, it develops all the known mathematics demonstrating the other affirmations, called theorems. In order to do so, it is necessary that in the demonstration of a theorem only definitions, pre-tested theorems, postulates and common notions are used.

La geometría y la aritmética son las ramas más antiguas de las matemáticas. El origen de ambas disciplinas se remonta a las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia; surgieron por la necesidad que tenían los habitantes de estas regiones por resolver problemas prácticos. Desde el principio y hasta alrededor del año 800 a.C., los conocimientos adquiridos en estas regiones se obtenían mediante la experiencia y se comprobaban por medio de la experimentación. Esto satisfacía las necesidades prácticas de esa población y, quizás, por este motivo no se había intentado dar un tratamiento más formal a la matemática. Los griegos fueron los primeros en intentar formalizar las matemáticas. Siendo herederos de gran parte del conocimiento que los egipcios y babilonios habían adquirido, y debido a su afición y capacidad por elaborar teorías para explicar el universo, en matemáticas quisieron llegar a un nivel de abstracción mayor. Su estructura social les permitía lograr este propósito, pues tenían gente dedicada solamente a ello. En Grecia, hubo varios matemáticos que descubrieron teoremas importantes usando un tipo de razonamiento que permitiera introducir argumentos que justifiquen lo que se afirmaba. Sin duda, para los propósitos de este trabajo, el más importante es Euclides de Alejandría, quien vivió alrededor del año 300 a.C. Euclides compiló todo el conocimiento matemático de su tiempo, en trece libros conocidos como Los Elementos. En Los Elementos, Euclides comienza dando definiciones de los términos más elementales y hace afirmaciones que relacionan estos términos, los cuales se llaman postulados. Además, Euclides da algunas nociones comunes conocidas como axiomas. A partir de esto, desarrolla toda la matemática conocida demostrando las demás afirmaciones, llamadas teoremas. Para hacerlo, cuida que en la demostración de un teorema sólo se usen definiciones, teoremas probados previamente, postulados y nociones comunes.