Sobre los trabajos de Conway y Thurston acerca de teselaciones

Abstract

Imagine that you've a region and some tiles, and that you wish to cover the region with the tiles, in such way that everything is cover and the tiles doesn't overlap. Could you always accomplish that goal? Is there any criterion you can use? On this thesis, we'll expose two methods to solve to questions. Also, we give a necessary and sucient conditions to some tilings on the hyperbolic case. On Tiling with Polyominoes and Combinatorial Group Theory, Conway and Lagarias expose necessary conditions for the existence of some tilings in the Euclidean plane. The solution that they give is algebraic: they construct a group, called Conway's group, and they prove that if a polygon can be tiled, some element of the group that represents the polygon, is the identity of the group. This criterion is called Conway's criterion. On the other hand, Thurston summarizes this concepts on the article Conway's Tiling Groups and solves the problem of lozenges and dominoes tilings. Using the Cayley's graphs of the Conway's groups, Thurston reinterprets the tilings as surfaces in the Cayley's graphs. He gives an algorithm to find tilings, and gives necessary and sucient tiling conditions for lozenges and dominoes. Inspired on Thurston's tiling resource, we solve the problem of regular tilings on the hyperbolic disk, giving necessary and sucient conditions for butterflies tilings (we call butterflies to tiles made by two hyperbolic congruent polygons).

Imagine que tiene usted un tablero y unas fichas, y que desea cubrir el tablero con las fichas, de manera que todo esté cubierto y que las fichas no se encimen. ¿Podrá siempre cumplir con su objetivo? ¿Habrá algún criterio que pueda decirle cuando no puede? ¿Y cuándo sí? A lo largo de esta tesis exponemos dos métodos para poder resolver tales preguntas; uno de Conway y otro de Thurston. Además damos una adaptación para el caso hiperbólico que nosotros encontramos. En el artículo Tiling with Polyominoes and Combinatorial Group Theory Conway y Lagarias exponen condiciones necesarias para la existencia de ciertas teselaciones de polígonos en el plano Euclidiano. La solución dada en es algebraica: se construye un grupo, llamado grupo de Conway, y se muestra que si un polígono es teselable entonces cierto elemento del grupo, que representa al polígono, es el neutro del grupo. A este criterio le llamamos criterio de Conway. Por otro lado, Thurston retoma estos conceptos en Conway's Tiling Groups y trata, entre otros problemas, el de teselar por dominós (formados por dos cuadrados) y rombos (formados por dos triángulos equiláteros). Apoyándose en las gráficas de Cayley asociadas a los grupos de Conway respectivos, Thurston reinterpreta a las teselaciones como superficies en la gráfica de Cayley y da un algoritmo para encontrar teselaciones. Esto le permite establecer una condición necesaria y suficiente para el teselado con dominós y rombos. Inspirados en el trabajo de Thurston, trabajamos el problema de teselaciones regulares en el disco hiperbólico y damos una condición necesaria y suficiente para el teselado de regiones por mariposas (teselas formadas por dos polígonos hiperbólicos congruentes).