Solución numérica de la ecuación de advección empleando mallas estructuradas sobre regiones planas irregulares utilizando un esquema de diferencias finitas

Abstract

The advection equation is a very important block in the process of modeling shallow-water problems in lakes and ponds, however, to this day there are very few schemes of solution that can be easily applied in non-rectangular regions, and this is a serious limitation for the method. In recent years many nite deference schemes have been designed for the numerical approximation of deferent Partial Deferential Equations, in plane irregular regions that comply with be non-rectangular and non-symmetrical. To be able to work with these kind of regions it is necessary to count with grids with certain desired geometrical characteristics: The distribution of the cell areas, which forms the grid, is as uniform as possible; the sides of every cell must also be as orthogonal as possible, and the variation of the coordinate lines doesn't have abrupt changes. In this work we do a brief revision of numerical grid generation methods, we show the methods designed by Barrera-Sánchez and Tinoco-Ruiz [1, 4, 28] and we mention the method designed by Dominguez-Mota [11] for the numerical grid generation at deferent regions; from regions with simply geometry to regions which are approximation to real geographical locations. After this revision, we present the existent methods for the solution of the advection equations in 1+1D and 2+1D; we present three nite-deference schemes to approximate the advection equation in 2 + 1D, and we explain the way how they were designed, also we make a study of the quality of the approximations accomplished with this schemes, showing the precision we obtain, especially with the 6 points scheme.

La ecuación de advección es un bloque muy importante en el proceso de modelado de problemas relacionados con aguas someras en lagos y estanques, sin embargo, a la fecha existen pocos esquemas de solución que sean fácilmente aplicables en regiones no rectangulares, y esto representa una seria limitación para éstos. En los años recientes se han diseñado varios esquemas basados en diferencias finitas para la aproximación de diferentes Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), en regiones planas que cumplan con ser no rectangulares y asimétricas. Para poder trabajar con este tipo de regiones es necesario contar con mallas que cumplan con ciertas características geométricas deseables: que la distribución de las áreas de las celdas que las forman sea lo más uniforme posible, que los lados de cada celda sean lo más ortogonales posibles o que la variación de las líneas coordenadas no tenga cambios bruscos. En este trabajo hacemos una breve revisión de los métodos de generación numérica de mallas, se revisan los métodos diseñados por Barrera-Sánchez y Tinoco-Ruiz [1, 4, 28] y se menciona el método diseñado por Domínguez-Mota [11] para la generación de mallas en diferentes regiones, que van desde regiones con geometría sencilla hasta regiones que son aproximaciones a lugares geográficos reales. Tras hacer esta revisión, se presentan algunos de los métodos existentes de la solución de la ecuación de advección en 1 + 1D y en 2 + 1D; Se proponen tres esquemas de diferencias para aproximar dicha ecuación en 2+1D, se explica la manera como se diseñan estos y se hace un estudio de la calidad de las aproximaciones logradas con dichos esquemas, mostrando la buena exactitud que se obtiene, sobre todo con el esquema de 6 puntos.