Solución de la ecuación de advección en regiones irregulares usando diferencias finitas

Abstract

The study of Partial Differential Equations (PDE) is a field of great interest in mathematics because it is possible to model many physical phenomena that occur in nature. In particular, the study of the advection equation is very important in modeling shallow water in lakes and ponds that their domains do not have simple and regular geometry and as such, there are few schemes applicable in such regions. Currently, there are finite difference schemes that help us to approximate the solution of a PDE working both with a rectangular regions as non-rectangular; one of the main motivations for using methods such approach is the fact that through these you can approximate the original problem using a simpler problem that can be solved efficiently. The finite difference schemes for rectangular regions are derived easily from Taylor's theorem, however, its application to irregular regions requires proper convex structured mesh. It is possible to obtain satisfactory results for these regions using defined differences on structures meshes generated using a variational method. Some common methods for solving the advection equation in regions 1 +1 D and 2 +1 D are presented in this paper, its implementation in regular and irregular regions and evidence to show the efficiency of the methods to see how accurate the results are we have with the different schemes in different regions.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) es un campo de gran interés en matemáticas debido a que es posible modelar muchos fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza. En particular, el estudio de la ecuación de advección es de suma importancia en el modelado de aguas someras en lagos y lagunas que, sus dominios no presentan una geometría sencilla ni regular y como tal, existen pocos esquemas aplicables en este tipo de regiones. En la actualidad, existen esquemas en diferencias finitas que nos ayudan a aproximar la solución de una EDP que trabajan tanto con regiones rectangulares planas como no-rectangulares; una de las principales motivaciones para usar métodos de aproximación de este tipo es el hecho de que por medio de estos se puede aproximar el problema original empleando un problema más sencillo que puede resolverse de manera eficiente. Los esquemas en diferencias finitas en regiones rectangulares se derivan con facilidad del Teorema de Taylor, sin embargo, su aplicación a regiones irregulares requiere de una malla convexa estructurada adecuada. Es posible obtener resultados satisfactorios para dichas regiones usando diferencias definidas sobre mallas estructuradas generadas usando un método variacional. En este trabajo se presentan algunos métodos comunes para la solución de la ecuación de advección en regiones en 1+1D y 2+1D, su implementación en regiones regulares e irregulares y las pruebas para mostrar la eficiencia de los métodos al ver que tan exactos son los resultados que se tienen con los diferentes esquemas, en distintas regiones.