Los trabajos aritméticos de Arquímedes y su influencia en la enseñanza de las matemáticas

Abstract

The purpose of this articles is make a tour for the main Archimedes' work, yours anecdotes, and to realize a study of main contributions to the modern mathematics. Archimedes was able to use infinitesimals in a way that is similar to modern integral calculus. Through proof by contradiction, he could give answers to problems to an arbitrary degree of accuracy, while specifying the limits within which the answer lay. This technique is known as the method of exhaustion, and he employed it to approximate the value of π. In Measurement of a Circle, Archimedes gives the value of the square root of 3 as lying between 265⁄153 (approximately 1.7320261) and1351⁄780 (approximately 1.7320512). The actual value is approximately 1.7320508, making this a very accurate estimate. In The Sand Reckoner, Archimedes set out to calculate the number of grains of sand that the universe could contain. In doing so, he challenged the notion that the number of grains of sand was too large to be counted. He wrote: "There are some, King Gelo (Gelo II, son of Hiero II), who think that the number of the sand is infinite in multitude; and I mean by the sand not only that which exists about Syracuse and the rest of Sicily but also that which is found in every region whether inhabited or uninhabited." To solve the problem, Archimedes devised a system of counting based on the myriad. The word is from the Greek μυριάς murias, for the number 10,000.

El propósito de este trabajo es realizar un recorrido por las principales obras de Arquímedes de Siracusa, algunas de las anécdotas que rodean su figura, así como realizar un estudio de sus principales aportes a la matemática moderna y su didáctica. Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo, era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. También en su obra sobre la Medición del Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. En otra de sus obras Arquímedes se enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos de arena que podía contener el universo. Para hacerlo, desafió la idea de que el número de granos fuera tan grande como para poder ser contados. Escribió: “Algunos creen, rey Gelón, que el número de los granos de arena es una cantidad infinita: hablo no solamente de la que está alrededor de Siracusa y de toda Sicilia, sino de toda la tierra tanto habitada como deshabitada” (Arquímedes). Para poder afrontar el problema, Arquímedes diseñó un sistema de cálculo basado en la mirada. Se trata de una palabra que procede del griego μυριάς (murias) y que servía para hacer referencia al número 10.000.