Dependencia del espectro de Dirac en estructuras espín del toro

Abstract

In this thesis, start with four local charts of the flat torus and lift the transition function with the 2:1 covering map of the spin group to the especial orthogonal group, in order to obtain the four families, which are called the torus spin structures. After that, we define the four torus spin bundles (with the spin representation) which are associated with the four spin structures. We proof that the positive and negative spin bundles are trivial, and using the Whitney sum (vector bundles sum) we obtain the global spin bundle which turns out to be also trivial. Furthermore, we show that the spinor space is isomorphic to a functions space with boun- dary conditions, which means that a spinor (defined on the torus and with values in the positive or negative spin bundle) is identified with a complex function defined on a unit length square. This helps us to define each of the domains of the four Dirac operators, corresponding to the four spin structures. Then we extend this domain to a Hilbert space, which allows us to conclude that the closure of the Dirac operator is self-adjoint. Moreover, we determine the four spectra of the four Dirac operators, and three of them turn out to be different. Finally, we conclude that the spectrum of the Dirac operator depends on the spin structure.

En la presente tesis, usamos cuatro cartas locales del toro plano, lo cual implica obtener las funciones de transición. Para hacer un levantamiento de las funciones de transición mediante la aplicación cubriente 2:1 del grupo espín al grupo ortogonal especial, obteniendo cuatro familias, llamadas estructuras espín del toro. Enseguida definimos los cuatro haces de espín del toro (mediante la representación espín) que están asociados a las cuatro estructuras espín. Además, demostramos que los haces de espín positivo y negativo son triviales, y utilizando la suma de Whitney (suma de haces vectoriales), obtenemos el haz de espín global que también resulta ser trivial. Por otro lado, demostramos que el espacio espinor es isomorfo al espacio de funciones con condición de frontera, lo cual significa que el espinor (definido en el toro y cuya imagen puede ser el haz de espín positivo o negativo) es identificado con la función definida en un cuadrado con lados de longitud uno y con valores complejos. Esto nos ayuda a definir cada uno de los dominios de los cuatro operadores de Dirac que corresponden a los cuatro haces de espín. Luego extendemos dicho dominio a un espacio de Hilbert, que nos permite concluir que la clausura del operador de Dirac es autoadjunto. Teniendo esto en cuenta determinamos cuatro espectros que corresponden a cuatro operadores de Dirac, y de los cuales tres resultan distintos. Finalmente, concluimos que el espectro de Dirac depende de la estructura espín del toro.