Teoría escalar φ4 para N grande en la red

Abstract

The purpose of this thesis is to carry out a basic study of lattice theory by using the scalar theory at large N. Even when the work developed in the thesis is far from being a complete study of lattice theory, our results give the path to carry out high performance numerical studies. After the introduction on lattice theory, which is the technique used to perform non perturbative studies of the strong interactions at low energies, a brief study of path integrals is realized. It is established the generating functional in the Euclidean formalism for the free scalar theory. In the next chapter, it is discretized the generating functional and it is introduced the action S and it is discretized. After of that we studied the two-point Green function, one of the main concerns in this thesis. We found a general formula for the two-point Green function for the scalar theory with N = 1. This formula is the one to be used to carry out numerical studies through Monte Carlo techniques (one of the main contributions in this thesis). After of that it is calculated integrals in one dimension by means of Monte Carlo (the integral to be calculated are of D ~104 dimensions).

El objetivo general de esta tesis es la hacer un estudio básico de la teoría de lattice recurriendo a la teoría escalar real en el límite N grande. A pesar de que el trabajo desarrollado en esta tesis dista de ser un estudio avanzado de la teoría de lattice, el desarrollo de esta tesis nos indica el camino para llevar a cabo estudios numéricos que requieren de cómputo de alto rendimiento. Después de la introducción sobre lattice QCD, técnica de estudio no perturbativa de la interacción fuerte a bajas energías, se realiza un estudio breve del formalismo de Integrales de Camino de Feynman, estableciendo la funcional generatriz en el espacio-tiempo euclidiano para la teoría escalar sin interacción. En el siguiente capítulo se lleva a cabo la desratización de la funcional generatriz y se define la acción S con interacción y se realiza su desratización. Posteriormente, estudiamos la función de Green de dos puntos, uno de los objetivos de esta tesis. Encontramos una fórmula general de la función de Green de dos puntos para la teoría escalar con un solo campo (N = 1). Esta fórmula es la que se debe utilizar para llevar a cabo el cálculo numérico mediante técnicas de Monte Carlo (ésta es una las principales contribuciones de la tesis). Después se realiza el cálculo de integrales en una dimensión del tipo de integrales que se deben calcular mediante las técnicas de Monte Carlo (las integrales que se deben calcular en la función de Green discretizada son de D~ 104 dimensiones).