Introducción a la teoría de pcf

Abstract

In this document it is introduced the set of `possible cofinalities' (denoted as pcf), studied for the first time in 1978 by Shelah, it consists of the cofinalities of all ultraproducts of a set of regular cardinals. Several results concerning this set are proven, in particular, the proof of the main theorem of this theory is given, from which it follows that the pcf set of an interval of regular cardinals is also an interval of regular cardinals. Also, it is studied the ideal J<? (?) of all subsets of a set a that force that the ultraproduct of a cofinality lower than ? and its relationship with the set of possible cofinalities and a bound for the cardinality of the pcf set is given. The document ends with some applications on Cardinal Arithmetic, bounds for some operations of cardinal exponentiation are presented.

Se introduce el conjunto de “posibles cofinalidades” (abreviado como pcf), estudiado por primera vez por Shelah en 1978, que consta de las cofinalidades de todos los ultraproductos de un conjunto de cardinales regulares. Se prueban algunos resultados sobre este conjunto, entre los cuales se demuestra el teorema principal de esta teoría, de donde se deduce que el pcf de un intervalo de cardinales regulares es también un intervalo de cardinales regulares. También se estudia un poco el ideal J<λ (α), que consta de todos los subconjuntos de un conjunto de cardinales regulares a que fuerzan que el ultraproducto de a tenga cofinalidad menor que λ, y su relación con el conjunto de posibles cofinalidades y se da una cota para la cardinalidad del conjunto pcf. El presente trabajo finaliza con unas aplicaciones en Aritmética Cardinal, donde se demuestran cotas para algunas operaciones de exponenciación de cardinales.