Un análisis de la influencia de las características geométricas de una malla lógicamente rectangular en la solución numérica de la ecuación de advección sobre regiones planas irregulares

Abstract

Currently there are several schemes for the approximation of Partial Differential Equations (PDE) based on finite differences. Within the PDEs we can find a very particular, advection equation, which is an important part in the mathematical modeling for problems related to shallow-water in lakes and ponds, nevertheless, schemes for solving non-rectangular regions and easy to apply are few. When have irregular regions and about them to make an approach required, it is necessary to find a mesh, which must meet certain geometric characteristics, namely: that the area of their cells is as uniform possible, that the sides of said cells are more orthogonal as possible or that the variation of coordinate lines without an abrupt change. In last years it has worked on implementing methods of the numerical grid generation, this paper presents a brief review of them, especially for advection equation. As well presents some of the above methods and is analyzed four different regions to approximate advection equation in 2 + 1D dimensions, with three schemes, namely, implicit scheme and explicit scheme of 4 to 6 points; show the results obtained, which in some cases are very satisfactory approximations.

En la actualidad existen varios esquemas para la aproximación de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), basados en diferencias finitas. Dentro de las EDPs podemos encontrar una muy particular, la ecuación de advección, la cual forma parte importante dentro de la modelación matemática para problemas relacionados con aguas someras en lagos y estanques, a pesar de ello, los esquemas para su solución en regiones no rectangulares y de fácil aplicación son pocos. Cuando se tienen regiones irregulares y sobre ellas se requiere hacer una aproximación, es necesario contar con una malla, la cual debe de cumplir con ciertas características geométricas, a saber: que el área de sus celdas sea lo más uniforme posible, que los lados de dichas celdas sean lo más ortogonales posible o que la variación de las líneas de coordenadas no tenga cambio bruscos. En años recientes se ha trabajado en la implementación de métodos de la generación numérica de mallas, en este trabajo se presenta una breve revisión de ellos, en particular para la ecuación de advección. También se presentan algunos de los métodos antes mencionados y sea analizarían 4 distintas regiones para aproximar la ecuación de advección en 2+1D dimensiones, con tres esquemas, a saber, esquema implícito y esquema explícito de 4 y 6 puntos; así también se muestran los resultados obtenidos, que en algunos casos las aproximaciones son muy satisfactorias.