Solución numérica de la ecuación de Poisson empleando diferencias finitas generalizadas sobre mallas generadas por un sistema de Winslow modificado

Abstract

The current work has the objective of solving one of the most used equations among several scientific fields: the Poisson equation −∇ (k∇u) = f, by the approximation to the problem through numerical methods. In the course of this paper, we will focus on the Generalized Finite Difference Method (FDM), which is characterized by producing a good approximation to the solution of partial differential equations over irregular domains. In the solution to the stated problem, the set of the inner points of a region is used, forming meshes. These meshes can be generated using different methods, as it can be the partition of a region into segments of equal length or the division of the domain into areas of equal size. But these meshes do not always bring with them good approximations, although good results have been obtained in rectangular regions, given that no all the problems to solve have an easy geometry that help us to create a satisfactory mesh. In light of this, we deal with the problem of generating good meshes so we could employ the FDM and we could solve our problem. An approach to our questioning is mapping the points of the irregular region into a rectangular region, using an initial mesh obtained by the Transfinite Interpolation Method, which will be used later as an initial grid to solve the Winslow Equations or by a variational method to find the required mesh. These meshes are intended to improve by using a heuristic method (2013 Domínguez-Mota et al), which lies in finding some weights using a stencil of nine points to approximate a second order differential operator.

El presente trabajo tiene como objetivo el solucionar una de las ecuaciones más utilizadas en diversos campos científicos: la ecuación de Poisson −∇ (k∇u) = f, mediante la aproximación del problema por métodos numéricos. En el transcurso de este texto, nos enfocaremos en el Método de Diferencias Finitas Generalizadas (MDF), que se caracteriza por producir una buena aproximación a las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales en dominios irregulares. En la solución de dicho problema se emplean conjuntos de puntos que están en el interior de una región, los cuales forman mallas. Estas mallas pueden ser generadas utilizando diversos métodos, como puede ser la partición de una región en segmentos de igual tamaño o la división del dominio en áreas de la misma superficie. Pero estos mallados no siempre traen consigo buenas aproximaciones, si bien se han obtenido buenos resultados en regiones rectangulares, puesto que no todos los problemas a resolver tienen una geometría sencilla que nos permita crear una malla satisfactoria. Ante esto, nos enfrentamos al problema de generar buenas mallas para poder emplear el MDF y solucionar nuestro problema. Un enfoque ante nuestro cuestionamiento es el mapear los puntos de la región irregular en una región rectangular utilizando una malla inicial obtenida por el Método de Interpolación Transfinita, que luego será utilizada como malla inicial para solucionar las Ecuaciones de Winslow o por algún método variacional para encontrar la malla requerida. Estas mallas se pretenden mejorar al emplear un método heurístico (2013 Domínguez-Mota et al), que consiste en encontrar ciertos pesos utilizando un esténcil (conjunto de puntos vecinos de un punto p(x i, y j)) de nueve puntos para aproximar un operador diferencial de segundo orden.