Comportamiento caótico de partículas cargadas en un condensador de placas onduladas

Abstract

In the present work, a numerical study has been shown on the dynamics of the trajectories of charged particles in a rippled and periodic capacitor under the influence of an inhomogeneous electrostatic potential field. Two numerical techniques were developed and implemented to study the trajectory of the charged particles within the capacitor before mentioned. The first is known as the \Integral Equation Method" and the second as the \Finite Differences Method". The integral equation method was used to calculate the electric potential inside the capacitor. This method start out of the Green's second theorem allowing to obtain a pair of coupled integral equations that use as unknowns the field and its normal derivative evaluated in borders or surfaces involved. The discretization of the system results in a homogeneous matrix equation whose solution determines the source function, from which you can calculate the electric potential inside the capacitor. On the other hand, the finite difference method was used to calculate the trajectory of the particle influenced by the electric field at each point. This method is based on making an approximation to the solution of differential equations through partial defined equations on a finite set of points. Therefore, once the electric field is known and based on Newton's second law can be know the trajectory of the particle. This way, to represent the dynamics of the particles inside the capacitor were used the Poincare's maps in a phase space that forms the trajectories of the particles.

En el presente trabajo se ha mostrado un estudio numérico sobre la dinámica de las trayectorias de las partículas cargadas en un condensador ondulado y periódico bajo la influencia de un campo de potencial electrostático inhomogéneo. Se desarrollaron e implementaron dos técnicas numéricas para estudiar la trayectoria de las partículas cargadas dentro del condensador antes mencionado. La primera se conoce como el \Método de la Ecuación Integral" y la segunda como el \Método de Diferencias Finitas". El método de la ecuación integral se utilizó para calcular el potencial eléctrico dentro del condensador. Este método parte del segundo teorema integral de Green permitiendo obtener un par de ecuaciones integrales acopladas que involucran como incógnitas el campo y su derivada normal evaluados en las fronteras o superficies involucradas. La discretización del sistema resulta en una ecuación matricial homogénea cuya solución determina las funciones fuente, con las que se puede calcular el potencial eléctrico en el interior del condensador. Por otra parte, el método de diferencias finitas se utilizó para calcular la trayectoria de la partícula influenciada por el campo eléctrico en cada punto. Este método se basa en hacer una aproximación a la solución de las ecuaciones diferenciales por medio de ecuaciones parciales definidas en un conjunto finito de puntos. Por lo tanto, una vez conocido el campo eléctrico y partiendo de la segunda ley de newton se puede conocer la trayectoria de la partícula. De esta manera, para representar la dinámica de las partículas dentro del condensador se utilizaron mapas de Poincaré en un espacio fase que forman las trayectorias de las partículas.