Conjuntos estacionarios y álgebras Booleanas propias

Abstract

This document is organized in six parts as follows: Introduction, four main-content chapters and two appendices. We hope the reader find readable and comfortable this text going from easier theory to a little bit harder. In chapter one of the text, we give you some background and definitions that author thinks are the most important for developing the whole work. We also give the statements of more outstanding theorems without proof but with a kindly motivation of them. Main subjects are ordinals, cardinals, filters, ideals, Boolean algebras and a review of model theory. In the second chapter, the theory of stationary sets is developed, we begin by showing the important definitions such as closed unbounded sets, after that we characterize them and demonstrate the most relevant theorems to get to the whole theory of stationary sets with their important theorems, applications and implications. We show the filter club characterization with generating functions, the well-known classic Fodor’s theorem and the Solovay’s one. In the third chapter we study the generalization of clubs and stationary sets to the most important (for us in this document) P κ (λ) sets, we develop the theorems, and some of the generalizations from the previous section and we introduce the importance when κ = ω 1 with (again) generating functions and with elementary submodels. In the fourth and last chapter, we start with the definition of what a game is and we end up what we begin in first chapter about Boolean algebras and model theory in order to lead the way to the definitions that concern us to show the equivalence of three different kind of proper complete Boolean algebras. We make use of what has been done in previous chapters to consider clubs in some special models and in [λ] ω , we finally show the main theorem of this document.

Este documento se divide en seis partes: la introducción, cuatro capítulos de contenido y los apéndices. Esperemos que el lector encuentre cómoda la lectura de este documento yendo de la teoría más sencilla a la más elaborada. En el capítulo uno del texto se muestran los preliminares y definiciones que el autor considera más importantes, así como los teoremas más relevantes, enunciados sin demostración pero con motivaciones a los mismos. Los temas que se tratan son los de ordinales, cardinales, filtros, ideales, álgebras booleanas y un poco de teoría de modelos. En el segundo capítulo se desarrolla la teoría de conjuntos estacionarios, empezando por las definiciones importantes como la de conjunto cerrado y no acotado, luego caracterizaciones y desarrollo de teoremas importantes para después pasar 0al desarrollo completo de los estacionarios junto con sus teoremas, aplicaciones e implicaciones. Se muestra la caracterización del filtro de clubs con funciones generadoras y los clásicos teoremas de Fodor y de Solovay. En el tercer capítulo se estudia la generalización de los clubs y estacionarios a los conjuntos P ? (?), se desarrolla la teoría más importante, se muestran las generalizaciones de algunos de los teoremas del capítulo anterior y se introduce la importancia de la teoría cuando ? = ? 1 con las funciones generadoras y con los submodelos elementales. En el cuarto y último capítulo empezamos con las definiciones de juegos infinitos y completamos lo hecho sobre álgebras booleanas y modelos en el capítulo uno para abrir paso a las definiciones que nos serán de utilidad para mostrar tres equivalencias de que un álgebra booleana completa sea propia; hacemos uso de lo desarrollado en el tercer capítulo para considerar clubs sobre algunos modelos y sobre [?] ?, así mostrar el teorema en el que se centra este documento.