Billares y superficies planas

Abstract

In this work we study the dynamics of polygonal billiards. This leads to the study of geodesic flows in surfaces having planar structures (planar surfaces, for short). We focus our study on a classical result of William A. Veech, and present an alternative proof of it due to Ya. B. Vorobets [16]. Veech's theorem describes, under certain conditions, the behavior of the geodesic flow associated to compact planar surfaces. Finally, we show some examples of polygons for which the associated surface satisfies the hypotheses of Veech's theorem.

En el presente trabajo, se estudia primeramente la dinámica de los billares sobre polígonos. Se muestra que el estudio de ésta dinámica conduce al estudio de los flujos geodésicos asociados a superficies con estructuras planas (o estructuras planas, simplemente). Enfocamos nuestro estudio en un resultado clásico de William A. Veech; presentamos una demostración alternativa a éste (esta demostración fue dada por Ya. B. Vorobets en [16]). El teorema de la dicotomía de Veech describe cómo se comporta, bajo ciertas condiciones, el flujo geodésico asociado a una estructura plana compacta. Finalmente, son dados algunos ejemplos de billares sobre polígonos cuya dinámica puede ser descrita por el teorema de la dicotomía de Veech.